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Prévoir les vues d'une vidéo grâce au logarithme

Énoncé

Un créateur de contenu suit le nombre de vues mensuelles de sa chaîne (en milliers de vues) depuis qu'une de ses vidéos est devenue virale. On note xx le rang du mois.

| xx (mois) | 11 | 22 | 33 | 44 | 55 |
|---|---|---|---|---|---|
| yy (milliers de vues) | 200200 | 330330 | 545545 | 900900 | 1 4801\,480 |

Le nuage monte de plus en plus vite : aucun ajustement affine direct n'est possible. 1. Justifier que la croissance est exponentielle, puis calculer Y=ln⁡yY = \ln y pour chaque mois (arrondir au centième). 2. Vérifier que le nuage (x ; Y)(x\,;\,Y) est presque aligné ; le tableur donne la droite Y=0,50 x+4,80Y = 0{,}50\,x + 4{,}80 avec R2=0,999R^2 = 0{,}999. 3. Estimer le nombre de vues dans 2 mois (septième mois), puis discuter la fiabilité de cette prévision.
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  1. Le nuage monte de plus en plus vite : commence par poser Y=ln⁡yY = \ln y pour le redresser, puis vérifie que les écarts successifs de YY sont à peu près constants.
  2. « Dans 2 mois » : les données s'arrêtent au rang 55, donc le mois cherché est le rang 5+2=75 + 2 = 7. Remplace x=7x = 7 dans la droite pour obtenir YY.
  3. La valeur trouvée est Y=ln⁡yY = \ln y, pas les vues : reviens à yy avec y=e Yy = e^{\,Y}. Pour la fiabilité, distingue bien « le modèle colle aux données connues » (R2R^2 proche de 11) et « la tendance va se poursuivre » (non garanti pour une extrapolation).

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. Justifier la croissance exponentielle

    On calcule le rapport d'un mois au suivant pour voir si yy est multiplié à chaque fois par un même nombre : 330200≈1,65\dfrac{330}{200} \approx 1{,}65 ; 545330≈1,65\dfrac{545}{330} \approx 1{,}65 ; 900545≈1,65\dfrac{900}{545} \approx 1{,}65 ; 1 480900≈1,64.\dfrac{1\,480}{900} \approx 1{,}64. Les rapports sont quasiment constants (environ 1,651{,}65) : les vues augmentent d'un pourcentage à peu près fixe chaque mois, donc la croissance est exponentielle. C'est exactement le cas où l'on pose Y=ln⁡yY = \ln y.

  2. 2. Calculer le changement de variable $Y = \ln y$

    On applique la touche ln⁡\ln de la calculatrice à chaque valeur de yy : ln⁡200≈5,30\ln 200 \approx 5{,}30 ; ln⁡330≈5,80\ln 330 \approx 5{,}80 ; ln⁡545≈6,30\ln 545 \approx 6{,}30 ; ln⁡900≈6,80\ln 900 \approx 6{,}80 ; ln⁡1 480≈7,30\ln 1\,480 \approx 7{,}30.

    | xx | 11 | 22 | 33 | 44 | 55 |
    |---|---|---|---|---|---|
    | Y=ln⁡yY = \ln y | 5,305{,}30 | 5,805{,}80 | 6,306{,}30 | 6,806{,}80 | 7,307{,}30 |

  3. 3. Vérifier que le nuage transformé est aligné

    On regarde de combien YY augmente d'un mois au suivant : 5,80−5,30=0,505{,}80 - 5{,}30 = 0{,}50 ; 6,30−5,80=0,506{,}30 - 5{,}80 = 0{,}50 ; 6,80−6,30=0,506{,}80 - 6{,}30 = 0{,}50 ; 7,30−6,80=0,50.7{,}30 - 6{,}80 = 0{,}50. Les écarts sont constants (égaux à 0,500{,}50) : le nuage (x ; Y)(x\,;\,Y) est donc presque aligné. L'ajustement affine Y=0,50 x+4,80Y = 0{,}50\,x + 4{,}80 est pertinent, ce que confirme R2=0,999R^2 = 0{,}999, très proche de 11.

  4. 4. Repérer le rang et extrapoler $Y$

    « Dans 2 mois » correspond au septième mois : comme les données s'arrêtent au rang 55, on cherche le rang x=5+2=7x = 5 + 2 = 7. Ce rang est au-delà de la dernière donnée, il s'agit donc d'une extrapolation. On remplace x=7x = 7 dans la droite : Y=0,50×7+4,80=3,50+4,80=8,30.Y = 0{,}50 \times 7 + 4{,}80 = 3{,}50 + 4{,}80 = 8{,}30. Cette valeur est celle de Y=ln⁡yY = \ln y, pas le nombre de vues.

  5. 5. Revenir aux vues, puis discuter la fiabilité

    Pour retrouver yy à partir de Y=ln⁡yY = \ln y, on utilise y=e Yy = e^{\,Y} (touche exe^x) : y=e8,30≈4 024.y = e^{8{,}30} \approx 4\,024. Comme yy est en milliers de vues, cela représente environ 4 024 0004\,024\,000 vues, soit près de 44 millions de vues. Le coefficient R2=0,999R^2 = 0{,}999 montre que le modèle colle très bien aux cinq mois connus, donc le choix de l'ajustement exponentiel est solide. Mais prévoir 2 mois après la dernière donnée reste une extrapolation : on suppose que la même croissance se poursuit. Or une vidéo virale finit presque toujours par s'essouffler (l'audience sature, l'algorithme change), donc la croissance peut ralentir. La prévision est donc un ordre de grandeur à court terme, à confirmer dès que de nouvelles données seront disponibles. On estime les vues du septième mois à environ 4 0244\,024 milliers de vues (près de 44 millions), sous réserve que la tendance actuelle se maintienne.
Réponse finale
Y=0,50×7+4,80=8,30puisy=e8,30≈4 024 milliers de vues≈4 024 000 vuesY = 0{,}50 \times 7 + 4{,}80 = 8{,}30 \quad \text{puis} \quad y = e^{8{,}30} \approx 4\,024 \ \text{milliers de vues} \approx 4\,024\,000 \ \text{vues}
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