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Comparer deux placements d'épargne

Énoncé

Pour épargner, on compare deux placements qui démarrent tous les deux avec un capital de 1 0001\,000 €.

- Placement A : le capital augmente de 5050 € chaque mois (montant fixe ajouté). On note AnA_n le capital, en euros, au bout de nn mois.
- Placement B : le capital augmente de 3 %3\,\% chaque mois. On note BnB_n le capital, en euros, au bout de nn mois.

1. Exprimer AnA_n puis BnB_n en fonction de nn, et préciser la nature de chaque suite.
2. Comparer AnA_n et BnB_n pour n=10n = 10. Lequel des deux placements est le plus avantageux au bout de 1010 mois ?
3. Voici un extrait d'un tableur (capitaux arrondis à l'euro) :
nn (mois)31323334
AnA_n (€)2\,5502\,6002\,6502\,700
BnB_n (€)2\,5002\,5752\,6522\,732

Déterminer à partir de quel mois le placement B devient (et reste) plus avantageux que le placement A.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Un montant fixe ajouté chaque mois donne une suite arithmétique ; un pourcentage fixe chaque mois donne une suite géométrique.
  2. Écris An=1 000+50nA_n = 1\,000 + 50n et Bn=1 000×1,03 nB_n = 1\,000 \times 1{,}03^{\,n}, puis remplace nn par les valeurs demandées.
  3. Dans le tableau, repère la colonne où BnB_n passe pour la première fois au-dessus de AnA_n : compare 2 5752\,575 et 2 6002\,600 (mois 32), puis 2 6522\,652 et 2 6502\,650 (mois 33).

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Exprimer A_n (placement A)

    Le placement A ajoute 5050 € fixes chaque mois à partir de 1 0001\,000 € : on ajoute toujours la même quantité, c'est une suite arithmétique de raison +50+50. Au bout de nn mois : An=1 000+50×nA_n = 1\,000 + 50 \times n.

  2. 2. Exprimer B_n (placement B)

    Le placement B augmente de 3 %3\,\% chaque mois : on multiplie chaque mois par le même coefficient q=1+3100=1,03q = 1 + \frac{3}{100} = 1{,}03, c'est une suite géométrique de raison 1,031{,}03. Au bout de nn mois : Bn=1 000×1,03 nB_n = 1\,000 \times 1{,}03^{\,n}.

  3. 3. Comparer au bout de 10 mois

    Pour n=10n = 10 : A10=1 000+50×10=1 500A_{10} = 1\,000 + 50 \times 10 = 1\,500 €. Et B10=1 000×1,03 10≈1 000×1,343916≈1 343,92B_{10} = 1\,000 \times 1{,}03^{\,10} \approx 1\,000 \times 1{,}343916 \approx 1\,343{,}92 €. Comme 1 500>1 343,921\,500 > 1\,343{,}92, le placement A est le plus avantageux au bout de 10 mois.

  4. 4. Chercher le moment où B dépasse A dans le tableau

    On compare colonne par colonne. Au mois 3232 : A32=2 600A_{32} = 2\,600 € et B32=2 575B_{32} = 2\,575 €, donc AA est encore devant (A>BA > B). Au mois 3333 : A33=2 650A_{33} = 2\,650 € et B33=2 652B_{33} = 2\,652 €, donc cette fois B>AB > A.

  5. 5. Conclure

    C'est donc à partir du 33e mois que le placement B (géométrique) dépasse le placement A (arithmétique), et l'écart se creuse ensuite en faveur de B (au mois 3434 : 2 7322\,732 € contre 2 7002\,700 €). Sur le long terme, l'évolution géométrique à 3 %3\,\% finit toujours par l'emporter sur l'ajout fixe de 50 € : c'est l'effet « boule de neige » des intérêts composés.
Réponse finale
An=1 000+50n (arithmeˊtique);Bn=1 000×1,03 n (geˊomeˊtrique);B deˊpasse A aˋ partir du 33e moisA_n = 1\,000 + 50n \ \text{(arithmétique)} \quad ; \quad B_n = 1\,000 \times 1{,}03^{\,n} \ \text{(géométrique)} \quad ; \quad B \text{ dépasse } A \text{ à partir du } 33^{\text{e}} \text{ mois}
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