Terminale pro · Chapitre 3

Suites géométriques

Cours de Terminale pro : suite géométrique de raison positive, terme de rang n, sens de variation, somme des termes. Évolution à taux fixe, chiffre d'affaires, abonnés, exercices corrigés.

8 exercices corrigés · Terminale professionnelle - mathématiques · Mis à jour en juin 2026

Prérequis

À maîtriser avant d'attaquer ce chapitre :

Suites arithmétiques

Un chiffre d’affaires qui grimpe de 4 % par an, un nombre d’abonnés qui croît de 8 % par mois, une épargne qui rapporte un intérêt fixe : à chaque fois, on multiplie la valeur précédente par le même nombre. C’est exactement le mécanisme d’une suite géométrique. Ce chapitre te donne les outils pour prévoir une valeur dans 5, 10 ou 20 périodes sans tout calculer à la main, et pour comparer deux évolutions.

À la fin de ce chapitre, je sais…

reconnaître une suite géométrique et trouver sa raison ;
passer d’une évolution en pourcentage au coefficient multiplicateur ;
calculer le terme de rang $n$ avec la formule directe $u_n = u_0 \times q^{\,n}$ ;
dire si une suite géométrique est croissante ou décroissante ;
calculer la somme des premiers termes d’une suite géométrique ;
déterminer un rang à l’aide d’un tableur (à partir de quand une valeur est dépassée).

À quoi ça sert vraiment ?

Imagine que tu ouvres une boutique et que ton chiffre d’affaires augmente de 4 % chaque année. Combien rapportera-t-elle dans 10 ans ? Si tu ajoutais bêtement « 4 % de 50 000 € » dix fois, tu te tromperais : la deuxième année, les 4 % se calculent sur un montant déjà plus gros. C’est le principe des intérêts composés, le même que celui de ton livret d’épargne ou du nombre de vues qui « fait boule de neige » sur une vidéo. La suite géométrique, c’est l’outil qui modélise tout ce qui grossit (ou fond) d’un pourcentage fixe à chaque étape.

1. Définition et raison

Suite géométrique

Une suite $(u_n)$ est géométrique lorsqu’on passe de chaque terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre $q$ , appelé la raison. Pour tout rang $n$ : $u_{n+1} = u_n \times q$

Le nombre $u_0$ (ou $u_1$ selon le premier terme donné) est le premier terme.

Dans tout ce chapitre, la raison est strictement positive : $q > 0$ .

Reconnaître une suite géométrique

On place 1 000 € sur un livret qui rapporte 3 % par an. Chaque année, le capital est multiplié par $1{,}03$ :

$u_0 = 1000 \qquad u_1 = 1000 \times 1{,}03 = 1030 \qquad u_2 = 1030 \times 1{,}03 = 1060{,}90$

D’un terme au suivant, on multiplie toujours par le même nombre $1{,}03$ : la suite $(u_n)$ est géométrique de raison $q = 1{,}03$ et de premier terme $u_0 = 1000$ .

Trouver la raison à partir de deux termes consécutifs

La raison, c’est le quotient d’un terme par celui qui le précède : $q = \frac{u_{n+1}}{u_n}$

Par exemple, si $u_3 = 60$ et $u_4 = 90$ , alors $q = \dfrac{90}{60} = 1{,}5$ .

Astuce de contrôle : si la suite est bien géométrique, ce quotient donne le même résultat quels que soient les deux termes consécutifs choisis.

2. Pourcentage et coefficient multiplicateur

C’est le cœur du chapitre en lycée pro : une évolution à taux fixe est une suite géométrique.

Évolution à taux fixe = coefficient multiplicateur

Augmenter de $t\,\%$ revient à multiplier par $1 + \dfrac{t}{100}$ .
Diminuer de $t\,\%$ revient à multiplier par $1 - \dfrac{t}{100}$ .

Ce nombre est le coefficient multiplicateur $CM$ . Si une grandeur évolue chaque période du même taux $t\,\%$ , ses valeurs forment une suite géométrique de raison $q = CM$ .

Du pourcentage à la raison

Hausse de 4 % par an : $q = 1 + \dfrac{4}{100} = 1{,}04$ .
Hausse de 8 % par mois : $q = 1 + \dfrac{8}{100} = 1{,}08$ .
Baisse de 12 % (solde de stock) : $q = 1 - \dfrac{12}{100} = 0{,}88$ .

Piège : le coefficient multiplicateur n'est pas le taux

Pour une hausse de 4 %, on lit parfois trop vite la raison.

FAUX : « $+4\,\%$ donc $q = 0{,}04$ » (ou « $q = 4$ »). Multiplier par $0{,}04$ ferait chuter la valeur de 96 % !
VRAI : augmenter de 4 %, c’est garder les 100 % de départ et ajouter 4 %, soit $100\,\% + 4\,\% = 104\,\%$ . On multiplie donc par $\dfrac{104}{100} = 1{,}04$ . La raison est $q = 1{,}04$ .

3. Terme de rang $n$ (formule directe)

Terme de rang n

Si $(u_n)$ est géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$ , alors pour tout rang $n$ : $u_n = u_0 \times q^{\,n}$

L’exposant est le nombre de multiplications effectuées depuis le premier terme. Cette formule donne directement n’importe quel terme sans calculer tous les précédents.

Calculer un terme lointain

Repérer le premier terme $u_0$ et la raison $q$ .
Compter le nombre de périodes $n$ écoulées depuis $u_0$ .
Appliquer $u_n = u_0 \times q^{\,n}$ , en calculant la puissance à la calculatrice (touche $x^y$ ou $\wedge$ ).
Arrondir au besoin (au centime pour des euros, à l’unité pour des personnes) et vérifier l’ordre de grandeur.

Exemple : $u_0 = 1000$ , $q = 1{,}03$ . Le terme de rang 5 vaut $u_5 = 1000 \times 1{,}03^{\,5} = 1000 \times 1{,}159\ldots \approx 1159{,}27.$

Piège : bien compter l'exposant

Avec un premier terme noté $u_0$ , l’indice et l’exposant coïncident, mais ce n’est pas toujours le cas.

FAUX : « le 1er janvier est $u_0$ , donc au bout de 5 ans j’écris $u_0 \times 1{,}03^{\,4}$ . »
VRAI : au bout de 5 ans, il s’est écoulé 5 multiplications par $1{,}03$ , donc $u_5 = u_0 \times 1{,}03^{\,5}$ . L’exposant compte le nombre d’évolutions, pas le numéro de l’année. En cas de doute, écris les premiers termes à la main pour caler l’exposant.

4. Sens de variation

Croissante ou décroissante (cas q > 0)

Soit $(u_n)$ géométrique de premier terme positif $u_0 > 0$ et de raison $q > 0$ :

si $q > 1$ , la suite est croissante : la valeur augmente, c’est une croissance ;
si $q = 1$ , la suite est constante ;
si $0 < q < 1$ , la suite est décroissante : la valeur diminue, c’est une décroissance.

Lire la variation sur la raison

$+8\,\%$ par mois : $q = 1{,}08 > 1$ → le nombre d’abonnés augmente (suite croissante).
$-12\,\%$ par démarque : $q = 0{,}88$ , et $0 < 0{,}88 < 1$ → le stock diminue (suite décroissante).

5. Lien avec les fonctions exponentielles

Une suite géométrique « est » une exponentielle

La formule $u_n = u_0 \times q^{\,n}$ a la même forme que la fonction $f(x) = u_0 \times q^{\,x}$ , où la variable $x$ remplace le rang $n$ .

Quand $q > 1$ , la courbe monte de plus en plus vite : c’est une croissance exponentielle (le fameux effet « boule de neige »).
Quand $0 < q < 1$ , la courbe descend en se rapprochant de zéro : c’est une décroissance exponentielle.

Une suite géométrique, c’est donc cette même croissance (ou décroissance) lue uniquement aux rangs entiers $0, 1, 2, 3, \ldots$

6. Somme des termes consécutifs

Très utile pour cumuler des versements, une production mensuelle ou des recettes successives.

Somme des termes d'une suite géométrique (q ≠ 1)

La somme des premiers termes, de $u_0$ jusqu’à $u_n$ , vaut : $S = u_0 + u_1 + \cdots + u_n = u_0 \times \frac{1 - q^{\,n+1}}{1 - q}$

Mémo (souvent plus simple à dire) : $S = (\text{premier terme}) \times \frac{1 - q^{\,\text{nombre de termes}}}{1 - q}$

Le nombre de termes de $u_0$ à $u_n$ est $n + 1$ (on n’oublie pas $u_0$ ).

Cumuler des versements

Tu verses 50 € le 1er mois, puis chaque mois 3 % de plus que le mois précédent. Les versements forment une suite géométrique de premier terme $50$ et de raison $1{,}03$ . Le total versé au bout de 4 mois (4 termes) vaut : $S = 50 \times \frac{1 - 1{,}03^{\,4}}{1 - 1{,}03} = 50 \times \frac{1 - 1{,}12550\ldots}{-0{,}03} \approx 50 \times 4{,}1836 \approx 209{,}18 \text{ €}.$

7. Trouver un rang avec le tableur

« À partir de quand la valeur dépasse-t-elle… ? »

Quand on cherche le rang à partir duquel une valeur dépasse un seuil, le tableur est l’outil idéal :

En colonne A, le rang $n$ ( $0, 1, 2, \ldots$ ) ; en colonne B, la valeur $u_n$ .
Saisir $u_0$ dans la cellule B2.
Dans B3, écrire la formule de récurrence : =B2*1,04 (on multiplie par la raison).
Recopier la formule vers le bas (poignée de recopie).
Lire la première ligne où la valeur dépasse le seuil : son rang est la réponse.

C’est plus rapide et plus sûr que de tâtonner avec les puissances à la calculatrice, et c’est la méthode attendue au bac pro.

Mémo express

$+t\,\%$ chaque période → suite géométrique, raison $q = 1 + \dfrac{t}{100}$ .
Terme de rang $n$ : $u_n = u_0 \times q^{\,n}$ (l’exposant = nombre d’évolutions).
$q > 1$ → ça monte ; $0 < q < 1$ → ça descend.
Un doute sur l’exposant ? Écris $u_0, u_1, u_2$ à la main pour te caler.

Exercices corrigés

Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.

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Calculer le terme de rang 5

Soit $(u_n)$ une suite géométrique de premier terme $u_0 = 1\,000$ et de raison $q = 1{,}03$ . Calculer le terme de rang $5$ , c'est-à-dire $u_5$ . Arrondir au centième.

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L'espace libre du téléphone qui fond

Au début des vacances (semaine de rang $0$ ), il reste $96$ Go d'espace libre sur le téléphone. En filmant et en téléchargeant, cet espace libre diminue de $15\,\%$ chaque semaine par rapport à la semaine précédente. On note $v_n$ l'espace libre, en Go, la semaine de rang $n$ .

1. Justifier que la suite $(v_n)$ est géométrique et donner sa raison $q$ .
2. La suite est-elle croissante ou décroissante ? Justifier.
3. Calculer $v_3$ , l'espace libre au bout de $3$ semaines (arrondir au centième).

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Un chiffre d'affaires en hausse de 4 pour cent par an

Le chiffre d'affaires d'une boutique de sneakers est de $50\,000$ € la première année (année de rang $0$ , donc $u_0 = 50\,000$ ). Le gérant prévoit une augmentation de $4\,\%$ par an. On note $u_n$ le chiffre d'affaires, en euros, l'année de rang $n$ .

1. Justifier que la suite $(u_n)$ est géométrique et donner sa raison $q$ .
2. Calculer $u_1$ , le chiffre d'affaires de la deuxième année.

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À partir de quelle année le chiffre d'affaires dépasse 80 000 euros

On reprend la boutique dont le chiffre d'affaires suit la suite géométrique $u_n = 50\,000 \times 1{,}04^{\,n}$ (en euros), où $n$ est le rang de l'année et $u_0 = 50\,000$ . Le gérant veut savoir à partir de quelle année son chiffre d'affaires dépassera $80\,000$ €. On utilise un tableur. Voici un extrait des valeurs obtenues (arrondies à l'euro) :

| Rang $n$ | 10 | 11 | 12 | 13 |
|---|---|---|---|---|
| $u_n$ (€) | 74\,012 | 76\,973 | 80\,052 | 83\,254 |

1. Quelle formule a-t-on saisie dans la cellule `B3` pour passer de $u_n$ à $u_{n+1}$ , sachant que $u_n$ est en `B2` ?
2. Déterminer, à l'aide du tableau, le premier rang $n$ pour lequel le chiffre d'affaires dépasse $80\,000$ €.

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Des abonnés en hausse de 8 pour cent par mois

Une créatrice lance une chaîne de streaming. Le mois de lancement (mois de rang $0$ ), elle compte $1\,500$ abonnés. Grâce à ses vidéos, ce nombre augmente de $8\,\%$ par mois. On note $a_n$ le nombre d'abonnés au mois de rang $n$ .

1. Donner la nature de la suite $(a_n)$ et sa raison.
2. Exprimer $a_n$ en fonction de $n$ .
3. Estimer le nombre d'abonnés au bout de $6$ mois (arrondir à l'unité).

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La cagnotte pour les packs EA FC

Pour s'offrir des packs sur EA FC, un joueur met de l'argent de côté chaque mois. Le premier mois (mois de rang $0$ ), il économise $8$ €. Motivé, il décide d'augmenter sa mise de $5\,\%$ chaque mois par rapport au mois précédent. On note $u_n$ la somme économisée, en euros, le mois de rang $n$ .

1. Justifier que la suite $(u_n)$ est géométrique et donner sa raison $q$ .
2. Calculer $u_5$ , la somme économisée le 6e mois (arrondir au centime).
3. Calculer la somme totale $S$ économisée pendant les $6$ premiers mois (du mois $0$ au mois $5$ ). Arrondir au centime.

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Bonus

Comparer deux placements d'épargne

Pour épargner, on compare deux placements qui démarrent tous les deux avec un capital de $1\,000$ €.

- Placement A : le capital augmente de $50$ € chaque mois (montant fixe ajouté). On note $A_n$ le capital, en euros, au bout de $n$ mois.
- Placement B : le capital augmente de $3\,\%$ chaque mois. On note $B_n$ le capital, en euros, au bout de $n$ mois.

1. Exprimer $A_n$ puis $B_n$ en fonction de $n$ , et préciser la nature de chaque suite.
2. Comparer $A_n$ et $B_n$ pour $n = 10$ . Lequel des deux placements est le plus avantageux au bout de $10$ mois ?
3. Voici un extrait d'un tableur (capitaux arrondis à l'euro) :

| $n$ (mois) | 31 | 32 | 33 | 34 |
|---|---|---|---|---|
| $A_n$ (€) | 2\,550 | 2\,600 | 2\,650 | 2\,700 |
| $B_n$ (€) | 2\,500 | 2\,575 | 2\,652 | 2\,732 |

Déterminer à partir de quel mois le placement B devient (et reste) plus avantageux que le placement A.

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Le food-truck qui vise 10 000 euros cumulés

Un food-truck ouvre près d'un lycée. Le premier mois (mois de rang $0$ ), sa recette est de $1\,200$ €. Grâce au bouche-à-oreille, la recette mensuelle augmente de $6\,\%$ chaque mois. On note $r_n$ la recette, en euros, le mois de rang $n$ , et $S_n$ la recette cumulée depuis l'ouverture (du mois $0$ au mois $n$ ).

1. Justifier que la suite $(r_n)$ est géométrique et donner sa raison $q$ , puis exprimer $r_n$ en fonction de $n$ .
2. Écrire la formule donnant la recette cumulée $S_n$ en fonction de $n$ .
3. Le gérant veut savoir à partir de quel mois la recette cumulée dépasse $10\,000$ €. Voici un extrait d'un tableur (recettes cumulées arrondies à l'euro) :

| Rang $n$ | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|
| $S_n$ (€) | 6\,765 | 8\,370 | 10\,073 | 11\,877 |

Déterminer le premier rang $n$ pour lequel la recette cumulée dépasse $10\,000$ €.

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Teste-toi

Quiz : 6 questions auto-corrigées

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Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'une suite géométrique ?

Une suite géométrique est une suite de nombres dans laquelle on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre, appelé la raison. Par exemple, une somme qui augmente de 4 pour cent chaque année est une suite géométrique de raison 1,04, car d'une année sur l'autre on multiplie par 1,04.

Comment calculer le terme de rang n d'une suite géométrique ?

On multiplie le premier terme par la raison élevée à la puissance qui correspond au nombre de multiplications effectuées. Si le premier terme est celui de rang zéro, le terme de rang n vaut le premier terme multiplié par la raison à la puissance n. C'est la formule directe : elle évite de calculer un par un tous les termes intermédiaires.

Quel est le lien entre suite géométrique et pourcentage d'évolution ?

Augmenter de t pour cent revient à multiplier par 1 plus t divisé par 100, et diminuer de t pour cent revient à multiplier par 1 moins t divisé par 100. Ce nombre par lequel on multiplie s'appelle le coefficient multiplicateur. Quand une grandeur évolue chaque période au même taux fixe, ses valeurs successives forment une suite géométrique dont la raison est ce coefficient multiplicateur.

1. Définition et raison

2. Pourcentage et coefficient multiplicateur

3. Terme de rang nnn (formule directe)

4. Sens de variation

5. Lien avec les fonctions exponentielles

6. Somme des termes consécutifs

7. Trouver un rang avec le tableur

Exercices corrigés

Calculer le terme de rang 5

L'espace libre du téléphone qui fond

Un chiffre d'affaires en hausse de 4 pour cent par an

À partir de quelle année le chiffre d'affaires dépasse 80 000 euros

Des abonnés en hausse de 8 pour cent par mois

La cagnotte pour les packs EA FC

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Questions fréquentes

3. Terme de rang $n$ (formule directe)