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Terminale pro

Le food-truck qui vise 10 000 euros cumulés

Énoncé

Un food-truck ouvre près d'un lycée. Le premier mois (mois de rang 00), sa recette est de 1 2001\,200 €. Grâce au bouche-à-oreille, la recette mensuelle augmente de 6 %6\,\% chaque mois. On note rnr_n la recette, en euros, le mois de rang nn, et SnS_n la recette cumulée depuis l'ouverture (du mois 00 au mois nn).

1. Justifier que la suite (rn)(r_n) est géométrique et donner sa raison qq, puis exprimer rnr_n en fonction de nn.
2. Écrire la formule donnant la recette cumulée SnS_n en fonction de nn.
3. Le gérant veut savoir à partir de quel mois la recette cumulée dépasse 10 00010\,000 €. Voici un extrait d'un tableur (recettes cumulées arrondies à l'euro) :

| Rang nn | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|
| SnS_n (€) | 6\,765 | 8\,370 | 10\,073 | 11\,877 |

Déterminer le premier rang nn pour lequel la recette cumulée dépasse 10 00010\,000 €.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Une hausse de 6 %6\,\% par mois donne une suite géométrique de raison q=1+6100=1,06q = 1 + \dfrac{6}{100} = 1{,}06, donc rn=1 200×1,06 nr_n = 1\,200 \times 1{,}06^{\,n}.
  2. « Cumulée » signifie qu'on additionne toutes les recettes depuis le départ : utilise la formule de la somme Sn=r0×1−q n+11−qS_n = r_0 \times \dfrac{1 - q^{\,n+1}}{1 - q}, avec n+1n + 1 termes du mois 00 au mois nn.
  3. Dans le tableau des SnS_n, repère la dernière valeur encore inférieure à 10 00010\,000 € (8 3708\,370 € au rang 5), puis la première qui dépasse 10 00010\,000 € (10 07310\,073 € au rang 6).

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Reconnaître la suite géométrique et exprimer r_n

    Chaque mois, la recette augmente de 6 %6\,\% : on multiplie toujours par le même coefficient q=1+6100=1,06q = 1 + \dfrac{6}{100} = 1{,}06. La suite (rn)(r_n) est donc géométrique de raison q=1,06q = 1{,}06, de premier terme r0=1 200r_0 = 1\,200. D'après la formule du terme de rang nn : rn=1 200×1,06 nr_n = 1\,200 \times 1{,}06^{\,n}.

  2. 2. Écrire la formule de la recette cumulée

    La recette cumulée du mois 00 au mois nn est la somme des termes de la suite géométrique. D'après la formule de la somme (avec q≠1q \neq 1), il y a n+1n + 1 termes, donc Sn=r0×1−q n+11−q=1 200×1−1,06 n+11−1,06S_n = r_0 \times \dfrac{1 - q^{\,n+1}}{1 - q} = 1\,200 \times \dfrac{1 - 1{,}06^{\,n+1}}{1 - 1{,}06}.

  3. 3. Lire le tableau pour franchir le seuil

    On compare chaque recette cumulée à 10 00010\,000 €. Au rang 55 : S5=8 370S_5 = 8\,370 €, c'est encore en dessous de 10 00010\,000 €. Au rang 66 : S6=10 073S_6 = 10\,073 €, c'est au-dessus de 10 00010\,000 €. Le seuil est donc franchi entre le rang 55 et le rang 66.

  4. 4. Conclure

    Le premier rang pour lequel la recette cumulée dépasse 10 00010\,000 € est n=6n = 6. C'est donc à partir du mois de rang 6 (le 7e mois d'activité) que le food-truck dépasse 10 00010\,000 € de recettes cumulées, avec environ 10 07310\,073 €. On peut le retrouver par le calcul : S6=1 200×1−1,06 71−1,06≈10 073S_6 = 1\,200 \times \dfrac{1 - 1{,}06^{\,7}}{1 - 1{,}06} \approx 10\,073 €.
Réponse finale
rn=1 200×1,06 n;Sn=1 200×1−1,06 n+11−1,06;n=6 (S6≈10 073 euros)r_n = 1\,200 \times 1{,}06^{\,n} \quad ; \quad S_n = 1\,200 \times \dfrac{1 - 1{,}06^{\,n+1}}{1 - 1{,}06} \quad ; \quad n = 6 \ (S_6 \approx 10\,073 \ \text{euros})
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