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Rêves Vision
Terminale pro

À partir de quelle année le chiffre d'affaires dépasse 80 000 euros

Énoncé

On reprend la boutique dont le chiffre d'affaires suit la suite géométrique un=50 000×1,04 nu_n = 50\,000 \times 1{,}04^{\,n} (en euros), où nn est le rang de l'année et u0=50 000u_0 = 50\,000. Le gérant veut savoir à partir de quelle année son chiffre d'affaires dépassera 80 00080\,000 €. On utilise un tableur. Voici un extrait des valeurs obtenues (arrondies à l'euro) :

| Rang nn | 10 | 11 | 12 | 13 |
|---|---|---|---|---|
| unu_n (€) | 74\,012 | 76\,973 | 80\,052 | 83\,254 |

1. Quelle formule a-t-on saisie dans la cellule `B3` pour passer de unu_n à un+1u_{n+1}, sachant que unu_n est en `B2` ?
2. Déterminer, à l'aide du tableau, le premier rang nn pour lequel le chiffre d'affaires dépasse 80 00080\,000 €.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Dans un tableur, on passe d'un terme d'une suite géométrique au suivant en multipliant par la raison : pense à `=B2*...`.
  2. Repère dans le tableau la dernière valeur encore inférieure à 80 00080\,000 €, puis la première qui le dépasse.
  3. Compare bien 76 97376\,973 € (rang 11) puis 80 05280\,052 € (rang 12) au seuil de 80 00080\,000 €.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Écrire la formule de récurrence du tableur

    Pour passer d'un terme au suivant dans une suite géométrique, on multiplie par la raison q=1,04q = 1{,}04. Si unu_n se trouve en `B2`, on saisit donc en `B3` la formule `=B2*1,04`, que l'on recopie ensuite vers le bas.

  2. 2. Lire la ligne où le seuil est franchi

    On parcourt le tableau et on compare chaque valeur à 80 00080\,000 €. Au rang 1111 : u11=76 973u_{11} = 76\,973 €, c'est encore en dessous de 80 00080\,000 €. Au rang 1212 : u12=80 052u_{12} = 80\,052 €, c'est au-dessus de 80 00080\,000 €.

  3. 3. Conclure

    Le premier rang pour lequel le chiffre d'affaires dépasse 80 00080\,000 € est donc n=12n = 12. C'est à partir de la 12e année (rang 12) que le chiffre d'affaires de la boutique dépasse 80 00080\,000 €, avec environ 80 05280\,052 €.
Réponse finale
Formule : =B2*1,04;n=12 (soit u12≈80 052 €)\text{Formule : } \texttt{=B2*1,04} \quad ; \quad n = 12 \ \text{(soit } u_{12} \approx 80\,052 \text{ €)}
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