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Rêves Vision
Terminale ST2S

Décroissance de la concentration d'un médicament

Énoncé

Après une injection, la concentration d'un médicament dans le sang (en mg/L) est modélisée par C(t)=10 e −0,2 tC(t) = 10\,e^{\,-0{,}2\,t}, où tt est le temps écoulé en heures (t≥0t \geq 0).

1. Calcule la concentration au moment de l'injection.
2. Calcule la concentration au bout de 55 heures, arrondie au centième.
3. La concentration augmente-t-elle ou diminue-t-elle au cours du temps ? Justifie.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Concentration au moment de l'injection

    Au moment de l'injection, t=0t = 0 : C(0)=10 e −0,2×0=10 e0=10×1=10C(0) = 10\,e^{\,-0{,}2 \times 0} = 10\,e^{0} = 10 \times 1 = 10 mg/L.

  2. 2. Concentration au bout de 5 heures

    On remplace tt par 55 : C(5)=10 e −0,2×5=10 e −1C(5) = 10\,e^{\,-0{,}2 \times 5} = 10\,e^{\,-1}. Or e −1≈0,3679e^{\,-1} \approx 0{,}3679, donc C(5)≈10×0,3679≈3,68C(5) \approx 10 \times 0{,}3679 \approx 3{,}68 mg/L (arrondi au centième).

  3. 3. Sens de variation

    La dérivée vaut C′(t)=10×(−0,2) e −0,2 t=−2 e −0,2 tC'(t) = 10 \times (-0{,}2)\,e^{\,-0{,}2\,t} = -2\,e^{\,-0{,}2\,t}. Comme e −0,2 t>0e^{\,-0{,}2\,t} > 0, on a C′(t)<0C'(t) < 0 : le coefficient −0,2-0{,}2 est négatif, donc la concentration diminue au cours du temps. Le médicament est progressivement éliminé par l'organisme.
Réponse finale
C(0)=10 mg/L  ;C(5)≈3,68 mg/L  ;la concentration diminue.C(0) = 10 \text{ mg/L} \;;\quad C(5) \approx 3{,}68 \text{ mg/L} \;;\quad \text{la concentration diminue.}
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