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Rêves Vision

Terminale ST2S · Chapitre 2

La fonction exponentielle

Cours de Terminale ST2S sur la fonction exponentielle : propriétés, variations, dérivée et modélisation en santé (croissance bactérienne, décroissance d'un médicament). Exercices corrigés.

8 exercices corrigés · Terminale ST2S - mathématiques (programme 2019) · Mis à jour en juin 2026

L’exponentielle est la fonction de la croissance et de la décroissance : sa vitesse de variation est proportionnelle à la quantité présente. C’est exactement ce qui se passe quand une population de bactéries se multiplie, ou quand un médicament est progressivement éliminé par l’organisme. Toujours strictement positive, elle transforme les sommes d’exposants en produits.

Ce que tu sauras faire

  • Je connais la fonction exponentielle exp\exp, aussi notée xexx \mapsto e^{\,x}, et la valeur e0=1e^{0} = 1.
  • Je maîtrise les propriétés algébriques (ea×ebe^{\,a} \times e^{\,b}, eaeb\dfrac{e^{\,a}}{e^{\,b}}, (ea)n\left(e^{\,a}\right)^n).
  • Je sais que ex>0e^{\,x} > 0 pour tout réel xx et que l’exponentielle est strictement croissante.
  • Je sais dériver une exponentielle, y compris ekxe^{\,kx}, pour étudier le sens de variation.
  • Je sais résoudre une équation simple du type ea=ebe^{\,a} = e^{\,b}.
  • Je sais modéliser un phénomène de santé : croissance d’une population, décroissance d’une concentration.

À quoi ça sert ?

En santé-social, beaucoup de grandeurs évoluent de façon proportionnelle à elles-mêmes. Une colonie de bactéries qui double régulièrement : c’est une croissance modélisée par ekte^{\,kt} avec k>0k > 0. La quantité d’un médicament dans le sang qui diminue d’un même pourcentage chaque heure : c’est une décroissance modélisée par ekte^{\,kt} avec k<0k < 0. Bénéfice de l’outil : prévoir une concentration à un instant donné, ou estimer à quelle vitesse un produit radioactif se désintègre. Coût : il faut savoir manipuler les exposants et lire le signe de kk - c’est tout l’objet de ce chapitre.

Fonction exponentielle

La fonction exponentielle, notée exp\exp ou xexx \mapsto e^{\,x}, est l’unique fonction ff dérivable sur R\mathbb{R} telle que : f=fetf(0)=1f' = f \qquad \text{et} \qquad f(0) = 1 Le nombre ee vaut environ 2,7182{,}718. On a notamment e0=1e^{0} = 1 et e1=e2,718e^{1} = e \approx 2{,}718.

Propriétés algébriques

Pour tous réels aa et bb et tout entier nn : ea+b=ea×ebeaeb=eab(ea)n=enae0=1e^{\,a+b} = e^{\,a} \times e^{\,b} \qquad \dfrac{e^{\,a}}{e^{\,b}} = e^{\,a-b} \qquad \left(e^{\,a}\right)^n = e^{\,na} \qquad e^{0} = 1 En particulier ea=1eae^{\,-a} = \dfrac{1}{e^{\,a}} : l’exponentielle ne s’annule jamais.

Signe et variations

Pour tout réel xx, ex>0e^{\,x} > 0 : la fonction exponentielle est strictement positive. Sa dérivée vaut (ex)=ex>0\left(e^{\,x}\right)' = e^{\,x} > 0, donc l’exponentielle est strictement croissante sur R\mathbb{R}.

Dérivée de e puissance kx

Si uu est dérivable, alors (eu)=ueu\left(e^{\,u}\right)' = u'\,e^{\,u}. En particulier, pour un réel kk : (ekx)=kekx\left(e^{\,kx}\right)' = k\,e^{\,kx} Le signe de cette dérivée est celui de kk (car ekx>0e^{\,kx} > 0) : si k>0k > 0 la fonction croît, si k<0k < 0 elle décroît.

Étudier un modèle exponentiel en santé

  1. Identifier la fonction et son intervalle d’étude (souvent t0t \geq 0, le temps en heures ou en jours).
  2. Lire le signe du coefficient kk dans ekte^{\,kt} : k>0k > 0 donne une croissance, k<0k < 0 une décroissance.
  3. Pour une valeur à un instant donné, remplacer tt et calculer ekte^{\,kt} (à la calculatrice), puis arrondir en précisant la précision.
  4. Conclure avec l’unité (nombre de bactéries, concentration en mg/L…).

Décroissance d'un médicament

La concentration (en mg/L) d’un médicament dans le sang est modélisée par C(t)=8e0,25tC(t) = 8\,e^{\,-0{,}25\,t}, où tt est le temps en heures depuis l’injection (t0t \geq 0).

À l’injection : C(0)=8e0=8×1=8C(0) = 8\,e^{0} = 8 \times 1 = 8 mg/L.

Au bout de 44 heures : C(4)=8e0,25×4=8e18×0,3682,94C(4) = 8\,e^{\,-0{,}25 \times 4} = 8\,e^{\,-1} \approx 8 \times 0{,}368 \approx 2{,}94 mg/L (arrondi au centième).

Le coefficient 0,25-0{,}25 est négatif, donc la concentration décroît : le médicament est bien éliminé par l’organisme au fil du temps.

Le piège de la somme

FAUX : ea+b=ea+ebe^{\,a+b} = e^{\,a} + e^{\,b}.

VRAI : l’exponentielle d’une somme est un produit, ea+b=ea×ebe^{\,a+b} = e^{\,a} \times e^{\,b}. De même, ekte^{\,kt} ne s’annule jamais : une concentration modélisée par une exponentielle tend vers 00 sans jamais l’atteindre.

Exercices corrigés

Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.

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Simplifier un produit d'exponentielles

Simplifier l'expression A=e4×e3A = e^{4} \times e^{3} et écris le résultat sous la forme d'une seule puissance de ee.

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Simplifier un quotient d'exponentielles

Simplifier l'expression B=e5e2B = \dfrac{e^{5}}{e^{2}} et écris le résultat sous la forme d'une seule puissance de ee.

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Simplifier une puissance d'exponentielle

Simplifier l'expression A=(e2)3e2A = \dfrac{\left(e^{2}\right)^{3}}{e^{\,-2}} et écris le résultat sous la forme d'une seule puissance de ee.

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Décroissance de la concentration d'un médicament

Après une injection, la concentration d'un médicament dans le sang (en mg/L) est modélisée par C(t)=10e0,2tC(t) = 10\,e^{\,-0{,}2\,t}, où tt est le temps écoulé en heures (t0t \geq 0).

1. Calcule la concentration au moment de l'injection.
2. Calcule la concentration au bout de 55 heures, arrondie au centième.
3. La concentration augmente-t-elle ou diminue-t-elle au cours du temps ? Justifie.

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Égalité de deux modèles d'abonnés

Deux créateurs lancent leur chaîne le même jour. Le nombre d'abonnés (en milliers) du premier est modélisé par P(t)=et×e3P(t) = e^{\,t}\times e^{3} et celui du second par Q(t)=e2tQ(t) = e^{\,2t}, où tt est le temps en semaines (t0t \geq 0). On cherche au bout de combien de semaines les deux chaînes ont le même nombre d'abonnés.

Résoudre l'équation P(t)=Q(t)P(t) = Q(t).

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Résoudre une équation exponentielle

Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation e3x=ex+8e^{\,3x} = e^{\,x+8}.

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Bonus

Croissance d'une population de bactéries

Dans une culture en laboratoire, le nombre de bactéries est modélisé par N(t)=200e0,15tN(t) = 200\,e^{\,0{,}15\,t}, où tt est le temps en heures (t0t \geq 0).

1. Combien de bactéries la culture contient-elle au départ ?
2. Calcule le nombre de bactéries au bout de 44 heures, puis au bout de 1010 heures (arrondis à l'unité).
3. Étudie le sens de variation de NN et interprète le résultat.

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Désintégration d'un traceur en imagerie médicale

En imagerie médicale, on injecte un produit radioactif appelé traceur. Son activité (en mégabecquerels, MBq) est modélisée par A(t)=500e0,1tA(t) = 500\,e^{\,-0{,}1\,t}, où tt est le temps en heures depuis l'injection (t0t \geq 0).

1. Calcule l'activité du traceur au moment de l'injection.
2. Calcule l'activité au bout de 66 heures, arrondie à l'unité.
3. Étudie le sens de variation de AA et interprète le résultat.
4. Montre que, pour tout t0t \geq 0, le rapport A(t+5)A(t)\dfrac{A(t+5)}{A(t)} est une constante que tu écriras sous la forme d'une puissance de ee. Que peut-on en déduire sur l'activité toutes les 55 heures ?

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Teste-toi

Quiz : 6 questions auto-corrigées

Vérifie en quelques minutes que tu as compris ce chapitre. Correction expliquée, score et points à la clé.

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Questions fréquentes

À quoi sert la fonction exponentielle en santé ?
Elle modélise les phénomènes dont la vitesse de variation est proportionnelle à la quantité présente. En santé-social, on l'utilise pour décrire la croissance d'une population de bactéries, la décroissance de la concentration d'un médicament dans le sang ou la désintégration d'un produit radioactif utilisé en imagerie médicale.
Quelles sont les propriétés de la fonction exponentielle ?
Pour tous réels a et b et tout entier n : e puissance (a plus b) égale e puissance a multiplié par e puissance b, e puissance a divisé par e puissance b égale e puissance (a moins b) et e puissance a, le tout puissance n, égale e puissance (n a). De plus e puissance 0 égale 1 et e puissance x est toujours strictement positif.
La fonction exponentielle est-elle croissante ou décroissante ?
La fonction exponentielle e puissance x est strictement croissante sur l'ensemble des réels, car sa dérivée est elle-même et reste strictement positive. Une fonction du type e puissance (k x) est croissante quand k est positif (croissance) et décroissante quand k est négatif (décroissance, comme l'élimination d'un médicament).