Terminale ST2S · Chapitre 2

La fonction exponentielle

Cours de Terminale ST2S sur la fonction exponentielle : propriétés, variations, dérivée et modélisation en santé (croissance bactérienne, décroissance d'un médicament). Exercices corrigés.

8 exercices corrigés · Terminale ST2S - mathématiques (programme 2019) · Mis à jour en juin 2026

L’exponentielle est la fonction de la croissance et de la décroissance : sa vitesse de variation est proportionnelle à la quantité présente. C’est exactement ce qui se passe quand une population de bactéries se multiplie, ou quand un médicament est progressivement éliminé par l’organisme. Toujours strictement positive, elle transforme les sommes d’exposants en produits.

Ce que tu sauras faire

Je connais la fonction exponentielle $\exp$ , aussi notée $x \mapsto e^{\,x}$ , et la valeur $e^{0} = 1$ .
Je maîtrise les propriétés algébriques ( $e^{\,a} \times e^{\,b}$ , $\dfrac{e^{\,a}}{e^{\,b}}$ , $\left(e^{\,a}\right)^n$ ).
Je sais que $e^{\,x} > 0$ pour tout réel $x$ et que l’exponentielle est strictement croissante.
Je sais dériver une exponentielle, y compris $e^{\,kx}$ , pour étudier le sens de variation.
Je sais résoudre une équation simple du type $e^{\,a} = e^{\,b}$ .
Je sais modéliser un phénomène de santé : croissance d’une population, décroissance d’une concentration.

À quoi ça sert ?

En santé-social, beaucoup de grandeurs évoluent de façon proportionnelle à elles-mêmes. Une colonie de bactéries qui double régulièrement : c’est une croissance modélisée par $e^{\,kt}$ avec $k > 0$ . La quantité d’un médicament dans le sang qui diminue d’un même pourcentage chaque heure : c’est une décroissance modélisée par $e^{\,kt}$ avec $k < 0$ . Bénéfice de l’outil : prévoir une concentration à un instant donné, ou estimer à quelle vitesse un produit radioactif se désintègre. Coût : il faut savoir manipuler les exposants et lire le signe de $k$ - c’est tout l’objet de ce chapitre.

Fonction exponentielle

La fonction exponentielle, notée $\exp$ ou $x \mapsto e^{\,x}$ , est l’unique fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que : $f' = f \qquad \text{et} \qquad f(0) = 1$ Le nombre $e$ vaut environ $2{,}718$ . On a notamment $e^{0} = 1$ et $e^{1} = e \approx 2{,}718$ .

Propriétés algébriques

Pour tous réels $a$ et $b$ et tout entier $n$ : $e^{\,a+b} = e^{\,a} \times e^{\,b} \qquad \dfrac{e^{\,a}}{e^{\,b}} = e^{\,a-b} \qquad \left(e^{\,a}\right)^n = e^{\,na} \qquad e^{0} = 1$ En particulier $e^{\,-a} = \dfrac{1}{e^{\,a}}$ : l’exponentielle ne s’annule jamais.

Signe et variations

Pour tout réel $x$ , $e^{\,x} > 0$ : la fonction exponentielle est strictement positive. Sa dérivée vaut $\left(e^{\,x}\right)' = e^{\,x} > 0$ , donc l’exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ .

Dérivée de e puissance kx

Si $u$ est dérivable, alors $\left(e^{\,u}\right)' = u'\,e^{\,u}$ . En particulier, pour un réel $k$ : $\left(e^{\,kx}\right)' = k\,e^{\,kx}$ Le signe de cette dérivée est celui de $k$ (car $e^{\,kx} > 0$ ) : si $k > 0$ la fonction croît, si $k < 0$ elle décroît.

Étudier un modèle exponentiel en santé

Identifier la fonction et son intervalle d’étude (souvent $t \geq 0$ , le temps en heures ou en jours).
Lire le signe du coefficient $k$ dans $e^{\,kt}$ : $k > 0$ donne une croissance, $k < 0$ une décroissance.
Pour une valeur à un instant donné, remplacer $t$ et calculer $e^{\,kt}$ (à la calculatrice), puis arrondir en précisant la précision.
Conclure avec l’unité (nombre de bactéries, concentration en mg/L…).

Décroissance d'un médicament

La concentration (en mg/L) d’un médicament dans le sang est modélisée par $C(t) = 8\,e^{\,-0{,}25\,t}$ , où $t$ est le temps en heures depuis l’injection ( $t \geq 0$ ).

À l’injection : $C(0) = 8\,e^{0} = 8 \times 1 = 8$ mg/L.

Au bout de $4$ heures : $C(4) = 8\,e^{\,-0{,}25 \times 4} = 8\,e^{\,-1} \approx 8 \times 0{,}368 \approx 2{,}94$ mg/L (arrondi au centième).

Le coefficient $-0{,}25$ est négatif, donc la concentration décroît : le médicament est bien éliminé par l’organisme au fil du temps.

Le piège de la somme

FAUX : $e^{\,a+b} = e^{\,a} + e^{\,b}$ .

VRAI : l’exponentielle d’une somme est un produit, $e^{\,a+b} = e^{\,a} \times e^{\,b}$ . De même, $e^{\,kt}$ ne s’annule jamais : une concentration modélisée par une exponentielle tend vers $0$ sans jamais l’atteindre.

Exercices corrigés

Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.

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Simplifier un produit d'exponentielles

Simplifier l'expression $A = e^{4} \times e^{3}$ et écris le résultat sous la forme d'une seule puissance de $e$ .

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Simplifier un quotient d'exponentielles

Simplifier l'expression $B = \dfrac{e^{5}}{e^{2}}$ et écris le résultat sous la forme d'une seule puissance de $e$ .

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Simplifier une puissance d'exponentielle

Simplifier l'expression $A = \dfrac{\left(e^{2}\right)^{3}}{e^{\,-2}}$ et écris le résultat sous la forme d'une seule puissance de $e$ .

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Décroissance de la concentration d'un médicament

Après une injection, la concentration d'un médicament dans le sang (en mg/L) est modélisée par $C(t) = 10\,e^{\,-0{,}2\,t}$ , où $t$ est le temps écoulé en heures ( $t \geq 0$ ).

1. Calcule la concentration au moment de l'injection.
2. Calcule la concentration au bout de $5$ heures, arrondie au centième.
3. La concentration augmente-t-elle ou diminue-t-elle au cours du temps ? Justifie.

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Égalité de deux modèles d'abonnés

Deux créateurs lancent leur chaîne le même jour. Le nombre d'abonnés (en milliers) du premier est modélisé par $P(t) = e^{\,t}\times e^{3}$ et celui du second par $Q(t) = e^{\,2t}$ , où $t$ est le temps en semaines ( $t \geq 0$ ). On cherche au bout de combien de semaines les deux chaînes ont le même nombre d'abonnés.

Résoudre l'équation $P(t) = Q(t)$ .

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Résoudre une équation exponentielle

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $e^{\,3x} = e^{\,x+8}$ .

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Bonus

Croissance d'une population de bactéries

Dans une culture en laboratoire, le nombre de bactéries est modélisé par $N(t) = 200\,e^{\,0{,}15\,t}$ , où $t$ est le temps en heures ( $t \geq 0$ ).

1. Combien de bactéries la culture contient-elle au départ ?
2. Calcule le nombre de bactéries au bout de $4$ heures, puis au bout de $10$ heures (arrondis à l'unité).
3. Étudie le sens de variation de $N$ et interprète le résultat.

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Désintégration d'un traceur en imagerie médicale

En imagerie médicale, on injecte un produit radioactif appelé traceur. Son activité (en mégabecquerels, MBq) est modélisée par $A(t) = 500\,e^{\,-0{,}1\,t}$ , où $t$ est le temps en heures depuis l'injection ( $t \geq 0$ ).

1. Calcule l'activité du traceur au moment de l'injection.
2. Calcule l'activité au bout de $6$ heures, arrondie à l'unité.
3. Étudie le sens de variation de $A$ et interprète le résultat.
4. Montre que, pour tout $t \geq 0$ , le rapport $\dfrac{A(t+5)}{A(t)}$ est une constante que tu écriras sous la forme d'une puissance de $e$ . Que peut-on en déduire sur l'activité toutes les $5$ heures ?

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Teste-toi

Quiz : 6 questions auto-corrigées

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Questions fréquentes

À quoi sert la fonction exponentielle en santé ?

Elle modélise les phénomènes dont la vitesse de variation est proportionnelle à la quantité présente. En santé-social, on l'utilise pour décrire la croissance d'une population de bactéries, la décroissance de la concentration d'un médicament dans le sang ou la désintégration d'un produit radioactif utilisé en imagerie médicale.

Quelles sont les propriétés de la fonction exponentielle ?

Pour tous réels a et b et tout entier n : e puissance (a plus b) égale e puissance a multiplié par e puissance b, e puissance a divisé par e puissance b égale e puissance (a moins b) et e puissance a, le tout puissance n, égale e puissance (n a). De plus e puissance 0 égale 1 et e puissance x est toujours strictement positif.

La fonction exponentielle est-elle croissante ou décroissante ?

La fonction exponentielle e puissance x est strictement croissante sur l'ensemble des réels, car sa dérivée est elle-même et reste strictement positive. Une fonction du type e puissance (k x) est croissante quand k est positif (croissance) et décroissante quand k est négatif (décroissance, comme l'élimination d'un médicament).