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Rêves Vision
Terminale ST2S

Désintégration d'un traceur en imagerie médicale

Énoncé

En imagerie médicale, on injecte un produit radioactif appelé traceur. Son activité (en mégabecquerels, MBq) est modélisée par A(t)=500 e −0,1 tA(t) = 500\,e^{\,-0{,}1\,t}, où tt est le temps en heures depuis l'injection (t≥0t \geq 0).

1. Calcule l'activité du traceur au moment de l'injection.
2. Calcule l'activité au bout de 66 heures, arrondie à l'unité.
3. Étudie le sens de variation de AA et interprète le résultat.
4. Montre que, pour tout t≥0t \geq 0, le rapport A(t+5)A(t)\dfrac{A(t+5)}{A(t)} est une constante que tu écriras sous la forme d'une puissance de ee. Que peut-on en déduire sur l'activité toutes les 55 heures ?
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Pour la question 1, l'injection correspond à t=0t = 0. Pense à e0=1e^{0} = 1.
  2. Pour le sens de variation, dérive avec (e kt)′=k e kt\left(e^{\,kt}\right)' = k\,e^{\,kt} puis regarde le signe de kk, sachant que e kt>0e^{\,kt} > 0.
  3. Pour la question 4, écris A(t+5)=500 e −0,1(t+5)A(t+5) = 500\,e^{\,-0{,}1(t+5)} puis simplifie le quotient avec e ae b=e a−b\dfrac{e^{\,a}}{e^{\,b}} = e^{\,a-b} : le terme en tt doit disparaître.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Activité au moment de l'injection

    Au moment de l'injection, t=0t = 0 : A(0)=500 e −0,1×0=500 e0=500×1=500A(0) = 500\,e^{\,-0{,}1 \times 0} = 500\,e^{0} = 500 \times 1 = 500 MBq.

  2. 2. Activité au bout de 6 heures

    On remplace tt par 66 : A(6)=500 e −0,1×6=500 e −0,6A(6) = 500\,e^{\,-0{,}1 \times 6} = 500\,e^{\,-0{,}6}. Or e −0,6≈0,5488e^{\,-0{,}6} \approx 0{,}5488, donc A(6)≈500×0,5488≈274,41A(6) \approx 500 \times 0{,}5488 \approx 274{,}41, soit environ 274274 MBq (arrondi à l'unité).

  3. 3. Sens de variation et interprétation

    La dérivée vaut A′(t)=500×(−0,1) e −0,1 t=−50 e −0,1 tA'(t) = 500 \times (-0{,}1)\,e^{\,-0{,}1\,t} = -50\,e^{\,-0{,}1\,t}. Comme e −0,1 t>0e^{\,-0{,}1\,t} > 0, on a A′(t)<0A'(t) < 0 : le coefficient −0,1-0{,}1 est négatif, donc AA est strictement décroissante sur [0 ; +∞[[0\,;\,+\infty[. L'activité du traceur diminue au cours du temps : le produit radioactif se désintègre progressivement.

  4. 4. Calcul du rapport sur 5 heures

    On écrit le numérateur en remplaçant tt par t+5t+5 : A(t+5)=500 e −0,1(t+5)A(t+5) = 500\,e^{\,-0{,}1(t+5)}. Donc A(t+5)A(t)=500 e −0,1(t+5)500 e −0,1 t=e −0,1(t+5)e −0,1 t\dfrac{A(t+5)}{A(t)} = \dfrac{500\,e^{\,-0{,}1(t+5)}}{500\,e^{\,-0{,}1\,t}} = \dfrac{e^{\,-0{,}1(t+5)}}{e^{\,-0{,}1\,t}}, car le facteur 500500 se simplifie.

  5. 5. Simplifier le quotient et conclure

    D'après la propriété du quotient e ae b=e a−b\dfrac{e^{\,a}}{e^{\,b}} = e^{\,a-b}, on a A(t+5)A(t)=e −0,1(t+5)−(−0,1 t)=e −0,1 t−0,5+0,1 t=e −0,5\dfrac{A(t+5)}{A(t)} = e^{\,-0{,}1(t+5) - (-0{,}1\,t)} = e^{\,-0{,}1\,t - 0{,}5 + 0{,}1\,t} = e^{\,-0{,}5}. Le résultat ne dépend plus de tt : c'est bien une constante, et e −0,5≈0,607e^{\,-0{,}5} \approx 0{,}607. Toutes les 55 heures, l'activité du traceur est multipliée par e −0,5≈0,607e^{\,-0{,}5} \approx 0{,}607, quel que soit l'instant considéré.
Réponse finale
A(0)=500 MBq  ;A(6)≈274 MBq  ;A est strictement deˊcroissante  ;A(t+5)A(t)=e −0,5≈0,607A(0) = 500 \text{ MBq} \;;\quad A(6) \approx 274 \text{ MBq} \;;\quad A \text{ est strictement décroissante} \;;\quad \dfrac{A(t+5)}{A(t)} = e^{\,-0{,}5} \approx 0{,}607
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