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Rêves Vision
Terminale ST2S

Égalité de deux modèles d'abonnés

Énoncé

Deux créateurs lancent leur chaîne le même jour. Le nombre d'abonnés (en milliers) du premier est modélisé par P(t)=e t×e3P(t) = e^{\,t}\times e^{3} et celui du second par Q(t)=e 2tQ(t) = e^{\,2t}, où tt est le temps en semaines (t≥0t \geq 0). On cherche au bout de combien de semaines les deux chaînes ont le même nombre d'abonnés.

Résoudre l'équation P(t)=Q(t)P(t) = Q(t).

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Simplifier le premier modèle

    Pour tous réels aa et bb, e a×e b=e a+be^{\,a} \times e^{\,b} = e^{\,a+b}. Donc P(t)=e t×e3=e t+3P(t) = e^{\,t} \times e^{3} = e^{\,t+3}. L'équation P(t)=Q(t)P(t) = Q(t) devient e t+3=e 2t.e^{\,t+3} = e^{\,2t}.

  2. 2. Utiliser l'équivalence des exposants

    La fonction exponentielle est strictement croissante, donc deux exponentielles sont égales si et seulement si leurs exposants le sont : e a=e b  ⟺  a=be^{\,a} = e^{\,b} \iff a = b. D'après cette équivalence, e t+3=e 2t  ⟺  t+3=2t.e^{\,t+3} = e^{\,2t} \iff t + 3 = 2t.

  3. 3. Résoudre l'équation du premier degré

    t+3=2t  ⟺  3=2t−t  ⟺  3=tt + 3 = 2t \iff 3 = 2t - t \iff 3 = t, donc t=3.t = 3.

  4. 4. Conclure dans le contexte

    La valeur t=3t = 3 appartient bien à l'intervalle d'étude [0 ; +∞[[0\,;\,+\infty[. Les deux chaînes ont le même nombre d'abonnés au bout de 33 semaines.
Réponse finale
t=3 (soit au bout de 3 semaines)t = 3 \text{ (soit au bout de 3 semaines)}
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