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Rêves Vision
Terminale ST2S

Calculer P(X = k) avec une loi binomiale

Énoncé

Un laboratoire contrôle des flacons de vaccin. La probabilité qu'un flacon soit non conforme est p=0,1p = 0{,}1, indépendamment des autres. On prélève un échantillon de 2020 flacons et on note XX le nombre de flacons non conformes. La variable XX suit la loi binomiale B(20 ; 0,1)\mathcal{B}(20\,;\,0{,}1).

Calculer la probabilité d'obtenir exactement 22 flacons non conformes, c'est-à-dire P(X=2)P(X = 2). Arrondir à 10−310^{-3}.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Écrire la formule

    Pour une loi binomiale B(n ; p)\mathcal{B}(n\,;\,p), on a P(X=k)=(nk) pk (1−p)n−kP(X = k) = \dbinom{n}{k}\, p^{k}\,(1 - p)^{n - k}. Ici n=20n = 20, p=0,1p = 0{,}1 et k=2k = 2 : P(X=2)=(202) (0,1)2 (0,9)18.P(X = 2) = \dbinom{20}{2}\, (0{,}1)^{2}\,(0{,}9)^{18}.

  2. 2. Calculer le coefficient binomial

    (202)=20×192×1=3802=190.\dbinom{20}{2} = \dfrac{20 \times 19}{2 \times 1} = \dfrac{380}{2} = 190. Il y a donc 190190 façons de choisir quels 22 flacons parmi les 2020 sont non conformes.

  3. 3. Évaluer les puissances

    On calcule les deux puissances : (0,1)2=0,01(0{,}1)^{2} = 0{,}01 et (0,9)18≈0,1501.(0{,}9)^{18} \approx 0{,}1501. On peut aussi obtenir le résultat directement à la calculatrice avec binomFdp(20 , 0,1 , 2)\text{binomFdp}(20\,,\,0{,}1\,,\,2) sur TI (ou `Bpd` sur Casio).

  4. 4. Conclure

    On rassemble les facteurs : P(X=2)=190×0,01×0,1501≈0,285.P(X = 2) = 190 \times 0{,}01 \times 0{,}1501 \approx 0{,}285. La probabilité d'avoir exactement 22 flacons non conformes parmi les 2020 est d'environ 0,2850{,}285, soit 28,5 %28{,}5\,\%.
Réponse finale
P(X=2)=(202) (0,1)2 (0,9)18≈0,285P(X = 2) = \dbinom{20}{2}\,(0{,}1)^{2}\,(0{,}9)^{18} \approx 0{,}285
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