Terminale ST2S · Chapitre 3

Probabilités et loi binomiale

Cours de Terminale ST2S : probabilités conditionnelles, arbres pondérés, probabilités totales, indépendance, schéma de Bernoulli et loi binomiale appliqués aux tests de dépistage.

8 exercices corrigés · Terminale ST2S - mathématiques (programme 2019) · Mis à jour en juin 2026

Un test de dépistage est-il fiable ? Une personne testée positive est-elle vraiment malade ? Sur un échantillon vacciné, combien de personnes seront protégées ? Toutes ces questions de santé publique se traitent avec les probabilités. Ce chapitre relie deux outils : les probabilités conditionnelles lues sur des arbres pondérés (idéales pour les tests de dépistage) et la loi binomiale, qui compte les succès sur un échantillon.

Ce que tu sauras faire

Je sais calculer une probabilité conditionnelle $P_A(B)$ et construire un arbre pondéré.
Je sais appliquer la formule des probabilités totales pour réunir plusieurs chemins.
Je sais reconnaître deux événements indépendants.
Je sais reconnaître un schéma de Bernoulli : $n$ épreuves identiques et indépendantes à deux issues.
Je sais identifier les paramètres $n$ et $p$ et écrire que $X \sim \mathcal{B}(n \,;\, p)$ .
Je sais calculer $P(X = k)$ à la calculatrice et l’espérance $E(X) = np$ , puis les interpréter en santé-social.

À quoi ça sert en santé-social ?

Ces notions sont au cœur de l’évaluation des tests de dépistage. Un test n’est jamais parfait : on décrit sa qualité par sa sensibilité (probabilité d’être positif quand on est malade) et sa spécificité (probabilité d’être négatif quand on est sain). L’arbre pondéré organise ces probabilités conditionnelles et permet de calculer le risque de faux positifs et de faux négatifs.

La loi binomiale sert dès qu’on compte des cas sur un échantillon : nombre de personnes protégées après une vaccination, nombre de porteurs d’un virus dans un groupe, nombre de prélèvements conformes lors du contrôle d’un échantillon. C’est un outil de décision en santé publique.

1. Probabilités conditionnelles et arbres pondérés

Probabilité conditionnelle

La probabilité de $B$ sachant $A$ , notée $P_A(B)$ , est la probabilité que $B$ se réalise sachant que $A$ est déjà réalisé. Quand $P(A) \neq 0$ :

$P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$

où $A \cap B$ désigne l’événement « $A$ et $B$ ». On se restreint donc à l’univers réduit aux cas où $A$ est réalisé.

Arbre pondéré

Un arbre pondéré représente une expérience en plusieurs étapes. Sur chaque branche, on inscrit une probabilité ; au second niveau, ce sont des probabilités conditionnelles (elles dépendent de la branche déjà suivie).

Exemple (test de dépistage). Dans une population, $5\,\%$ des personnes sont atteintes d’une maladie ( $M$ ). On note $T$ l’événement « le test est positif ». Le test a une sensibilité de $0{,}98$ , c’est-à-dire $P_M(T) = 0{,}98$ , et une spécificité de $0{,}95$ , c’est-à-dire $P_{\overline{M}}(\overline{T}) = 0{,}95$ .

$M\ (0{,}05)$ → $T\ (0{,}98)$ ou $\overline{T}\ (0{,}02)$
$\overline{M}\ (0{,}95)$ → $T\ (0{,}05)$ ou $\overline{T}\ (0{,}95)$

Règles de l'arbre pondéré

Somme des branches d’un nœud : les probabilités des branches issues d’un même nœud ont pour somme $1$ . Ici $0{,}05 + 0{,}95 = 1$ et $0{,}98 + 0{,}02 = 1$ .
Probabilité d’un chemin : on multiplie les probabilités le long des branches d’un chemin. C’est la formule des probabilités composées :

$P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$

Par exemple, la probabilité d’être malade et d’avoir un test positif est : $P(M \cap T) = 0{,}05 \times 0{,}98 = 0{,}049.$

Formule des probabilités totales

Quand un événement $T$ peut être atteint par plusieurs chemins distincts de l’arbre, on calcule chaque chemin par un produit, puis on additionne les résultats. Avec les deux cas $M$ et $\overline{M}$ :

$P(T) = P(M \cap T) + P(\overline{M} \cap T) = P(M) \times P_M(T) + P(\overline{M}) \times P_{\overline{M}}(T)$

Sur l’exemple, deux chemins mènent à un test positif : $P(T) = \underbrace{0{,}05 \times 0{,}98}_{\text{vrais positifs}} + \underbrace{0{,}95 \times 0{,}05}_{\text{faux positifs}} = 0{,}049 + 0{,}0475 = 0{,}0965.$

Indépendance de deux événements

Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants lorsque la réalisation de l’un ne change pas la probabilité de l’autre :

$P(A \cap B) = P(A) \times P(B), \quad \text{ce qui équivaut à } P_A(B) = P(B).$

Exemple. Si l’on prélève une personne au hasard dans une très grande population, son état de santé est indépendant de celui de la personne prélevée juste avant : la composition de la population n’a pas changé.

Lire une probabilité sur un arbre

Construire l’arbre : premier niveau pour la maladie ( $M$ / $\overline{M}$ ), second niveau pour le test ( $T$ / $\overline{T}$ ).
Reporter chaque donnée : probabilité d’être malade, sensibilité $P_M(T)$ , spécificité $P_{\overline{M}}(\overline{T})$ , et compléter chaque nœud pour que la somme fasse $1$ .
Pour une intersection ( $M \cap T$ ), multiplier le long du chemin.
Pour la probabilité d’un test positif $P(T)$ , additionner tous les chemins menant à $T$ (probabilités totales).
Pour une probabilité « sachant » (ex. $P_T(M)$ ), appliquer $P_T(M) = \dfrac{P(M \cap T)}{P(T)}$ .

Probabilité d'être malade sachant que le test est positif

On reprend l’arbre ci-dessus, où $P(M \cap T) = 0{,}049$ et $P(T) = 0{,}0965$ . Quelle est la probabilité d’être réellement malade sachant que le test est positif ?

$P_T(M) = \dfrac{P(M \cap T)}{P(T)} = \dfrac{0{,}049}{0{,}0965} \approx 0{,}508.$

Bien que le test soit très performant, une personne testée positive n’a qu’environ $51\,\%$ de chances d’être malade : c’est l’effet des nombreux faux positifs quand la maladie est rare.

2. Schéma de Bernoulli et loi binomiale

Épreuve de Bernoulli

Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui n’a que deux issues :

le succès $S$ , de probabilité $p$ ;
l’échec $\overline{S}$ , de probabilité $1 - p$ .

Exemple. Tester une personne et regarder si elle est porteuse d’un virus présent chez $8\,\%$ de la population est une épreuve de Bernoulli de succès « être porteur », avec $p = 0{,}08$ et $1 - p = 0{,}92$ .

Schéma de Bernoulli

Un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$ est la répétition de $n$ épreuves de Bernoulli :

identiques : la probabilité de succès $p$ est la même à chaque épreuve ;
indépendantes : le résultat d’une épreuve n’influence pas les autres.

Exemple. Prélever $50$ personnes au hasard dans une très grande population dont $8\,\%$ sont porteuses du virus forme un schéma de Bernoulli de paramètres $n = 50$ et $p = 0{,}08$ (les prélèvements sont considérés indépendants).

Loi binomiale

On répète un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$ , et on note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de succès sur les $n$ épreuves.

On dit alors que $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ , ce que l’on note :

$X \sim \mathcal{B}(n \,;\, p)$

La variable $X$ peut prendre toutes les valeurs entières de $0$ à $n$ .

Probabilité d'obtenir k succès

Si $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n \,;\, p)$ , alors pour tout entier $k$ compris entre $0$ et $n$ :

$P(X = k) = \binom{n}{k}\, p^{k}\, (1 - p)^{\,n - k}$

On reconnaît trois facteurs :

$\dbinom{n}{k}$ : le nombre de chemins menant à $k$ succès (le coefficient binomial « $k$ parmi $n$ ») ;
$p^{k}$ : la probabilité des $k$ succès ;
$(1 - p)^{\,n - k}$ : la probabilité des $n - k$ échecs.

Calculer P(X = k) à la calculatrice

En Terminale ST2S, on obtient $P(X = k)$ directement à la calculatrice, sans poser le calcul à la main :

Casio : menu STAT puis DIST → BINM → Bpd (probabilité ponctuelle), on saisit $x = k$ , Numtrial $= n$ et $p$ .
TI : touche 2nde puis distrib → binomFdp( (ou binompdf(), on saisit binomFdp(n , p , k).

Pour une probabilité du type $P(X \leqslant k)$ , on utilise la version cumulée (Bcd sur Casio, binomFRép/binomcdf sur TI).

Espérance d'une loi binomiale

Si $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n \,;\, p)$ , son espérance est :

$E(X) = n\,p$

C’est le nombre moyen de succès attendu sur les $n$ répétitions. Par exemple, sur des échantillons de $50$ personnes dont $8\,\%$ sont porteuses du virus, on attend en moyenne $E(X) = 50 \times 0{,}08 = 4$ porteurs par échantillon.

Résoudre un problème avec la loi binomiale

Vérifier qu’on a bien un schéma de Bernoulli : épreuves identiques, indépendantes, à deux issues.
Identifier les paramètres : le nombre d’épreuves $n$ et la probabilité de succès $p$ . Conclure que $X \sim \mathcal{B}(n \,;\, p)$ .
Traduire la question : $P(X = k)$ , $P(X \leqslant k)$ , ou un événement contraire comme « au moins un ».
Calculer la probabilité (calculatrice), puis arrondir comme demandé et conclure par une phrase dans le contexte santé-social.

Probabilité dans un échantillon

Sur l’échantillon précédent, $X \sim \mathcal{B}(50 \,;\, 0{,}08)$ compte les porteurs du virus. Quelle est la probabilité qu’il y ait exactement $4$ porteurs ?

$P(X = 4) = \binom{50}{4}\, (0{,}08)^{4}\, (0{,}92)^{46}.$

À la calculatrice : $P(X = 4) \approx 0{,}196$ , soit environ $19{,}6\,\%$ .

Les pièges classiques

FAUX : confondre $P_M(T)$ (la sensibilité, probabilité d’un test positif sachant qu’on est malade) avec $P_T(M)$ (la probabilité d’être malade sachant que le test est positif).

VRAI : ces deux probabilités conditionnelles sont en général différentes. Sur l’exemple, $P_M(T) = 0{,}98$ mais $P_T(M) \approx 0{,}51$ . On les relie par $P_T(M) = \dfrac{P(M \cap T)}{P(T)}$ .

Autres pièges :

Sur un arbre : on multiplie le long d’un chemin, et on additionne des chemins différents (probabilités totales).
Pour la loi binomiale, ne pas oublier le coefficient $\dbinom{n}{k}$ , et ne pas confondre l’exposant de $p$ (c’est $k$ , les succès) et celui de $1 - p$ (c’est $n - k$ , les échecs).
« Au moins un » se traite par le contraire : $P(X \geqslant 1) = 1 - P(X = 0)$ , et non en additionnant tous les cas.

Exercices corrigés

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Loi binomiale : probabilité d'au moins un cas

Dans une très grande population, $6\,\%$ des personnes sont porteuses d'un anticorps particulier. Lors d'une enquête de santé publique, on prélève au hasard $10$ personnes et on note $X$ le nombre de personnes porteuses de l'anticorps dans l'échantillon. On admet que $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(10\,;\,0{,}06)$ .

Calculer la probabilité qu'il y ait au moins une personne porteuse de l'anticorps dans l'échantillon, c'est-à-dire $P(X \geqslant 1)$ . Arrondir à $10^{-3}$ .

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Probabilité conditionnelle sur une campagne de vaccination

Dans une commune, $70\,\%$ des habitants sont vaccinés contre la grippe. Parmi les personnes vaccinées, $5\,\%$ attrapent tout de même la grippe pendant l'hiver. On choisit un habitant au hasard. On note $V$ l'événement « la personne est vaccinée » et $G$ l'événement « la personne attrape la grippe ».

Calculer la probabilité $P(V \cap G)$ qu'un habitant soit à la fois vacciné et atteint par la grippe.

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Reconnaître une loi binomiale et calculer son espérance

Dans une très grande population, $15\,\%$ des personnes sont porteuses d'un anticorps. Dans le cadre d'une enquête de santé publique, on prélève au hasard $80$ personnes et on note $X$ le nombre de personnes porteuses de l'anticorps dans l'échantillon.

1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.
2. Calculer l'espérance $E(X)$ et interpréter le résultat.

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Calculer P(X = k) avec une loi binomiale

Un laboratoire contrôle des flacons de vaccin. La probabilité qu'un flacon soit non conforme est $p = 0{,}1$ , indépendamment des autres. On prélève un échantillon de $20$ flacons et on note $X$ le nombre de flacons non conformes. La variable $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(20\,;\,0{,}1)$ .

Calculer la probabilité d'obtenir exactement $2$ flacons non conformes, c'est-à-dire $P(X = 2)$ . Arrondir à $10^{-3}$ .

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Probabilité cumulée P(X <= k) à la calculatrice

Un nouveau vaccin provoque un effet secondaire bénin chez $4\,\%$ des personnes vaccinées, indépendamment les unes des autres. Un centre de vaccination suit un groupe de $25$ personnes et note $X$ le nombre de personnes présentant cet effet secondaire. La variable $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(25\,;\,0{,}04)$ .

1. Calculer la probabilité $P(X \leqslant 1)$ qu'au plus une personne présente cet effet. Arrondir à $10^{-3}$ .
2. En déduire la probabilité qu'au moins deux personnes présentent cet effet.

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Probabilité totale : un test de dépistage positif

Dans une population, $2\,\%$ des personnes sont atteintes d'une maladie ( $M$ ). On dispose d'un test de dépistage. Sa sensibilité est $0{,}95$ : $P_M(T) = 0{,}95$ , où $T$ est l'événement « le test est positif ». Sa spécificité est $0{,}90$ : $P_{\overline{M}}(\overline{T}) = 0{,}90$ .

Calculer la probabilité $P(T)$ qu'une personne choisie au hasard ait un test positif. Arrondir à $10^{-3}$ .

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Faux négatifs et fiabilité d'un test négatif

Dans une population, $3\,\%$ des personnes sont atteintes d'une maladie ( $M$ ). On dispose d'un test de dépistage dont la sensibilité est $P_M(T) = 0{,}92$ et la spécificité est $P_{\overline{M}}(\overline{T}) = 0{,}96$ , où $T$ est l'événement « le test est positif ».

1. Calculer la probabilité d'un faux négatif, c'est-à-dire d'être malade et d'avoir un test négatif : $P(M \cap \overline{T})$ .
2. Calculer la probabilité $P(\overline{T})$ d'avoir un test négatif.
3. En déduire la probabilité $P_{\overline{T}}(M)$ d'être malgré tout malade sachant que le test est négatif. Arrondir à $10^{-4}$ et commenter.

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Bonus

Valeur prédictive d'un test positif (problème)

Dans une population, $2\,\%$ des personnes sont atteintes d'une maladie ( $M$ ). Un test de dépistage a une sensibilité $P_M(T) = 0{,}95$ et une spécificité $P_{\overline{M}}(\overline{T}) = 0{,}90$ , où $T$ est l'événement « le test est positif ».

Une personne vient de recevoir un résultat positif. Calculer la probabilité $P_T(M)$ qu'elle soit réellement malade (on l'appelle la valeur prédictive positive du test). Arrondir à $10^{-3}$ et commenter.

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Questions fréquentes

Comment interpréter la sensibilité et la spécificité d'un test de dépistage ?

La sensibilité est la probabilité que le test soit positif sachant que la personne est malade : c'est sa capacité à détecter les vrais malades. La spécificité est la probabilité que le test soit négatif sachant que la personne est saine. Sur un arbre pondéré, ce sont les probabilités conditionnelles portées par les branches du second niveau.

Comment calculer la probabilité d'un résultat positif avec la formule des probabilités totales ?

On repère tous les chemins de l'arbre qui mènent à un test positif : le chemin malade puis positif et le chemin sain puis positif. On multiplie les probabilités le long de chaque chemin, puis on additionne les deux produits. La somme donne la probabilité totale d'avoir un test positif.

Quelle est l'espérance d'une loi binomiale en ST2S et que représente-t-elle ?

Pour une variable aléatoire X qui suit la loi binomiale B(n ; p), l'espérance vaut E(X) = n multiplié par p. Elle donne le nombre moyen de succès attendu sur les n épreuves : par exemple, sur des échantillons de 50 personnes dont 8 pour cent sont porteuses d'un virus, on attend en moyenne 50 multiplié par 0,08 = 4 personnes porteuses par échantillon.