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Rêves Vision
Terminale ST2S

Loi binomiale : probabilité d'au moins un cas

Énoncé

Dans une très grande population, 6 %6\,\% des personnes sont porteuses d'un anticorps particulier. Lors d'une enquête de santé publique, on prélève au hasard 1010 personnes et on note XX le nombre de personnes porteuses de l'anticorps dans l'échantillon. On admet que XX suit la loi binomiale B(10 ; 0,06)\mathcal{B}(10\,;\,0{,}06).

Calculer la probabilité qu'il y ait au moins une personne porteuse de l'anticorps dans l'échantillon, c'est-à-dire P(X⩾1)P(X \geqslant 1). Arrondir à 10−310^{-3}.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Passer par l'événement contraire

    L'événement « au moins une personne porteuse » est le contraire de l'événement « aucune personne porteuse », c'est-à-dire X=0X = 0. D'après la formule du contraire, P(X⩾1)=1−P(X=0).P(X \geqslant 1) = 1 - P(X = 0). Il suffit donc de calculer P(X=0)P(X = 0).

  2. 2. Calculer la probabilité d'aucun succès

    Avec la loi binomiale B(10 ; 0,06)\mathcal{B}(10\,;\,0{,}06), on a P(X=0)=(100) (0,06)0 (0,94)10.P(X = 0) = \dbinom{10}{0}\,(0{,}06)^{0}\,(0{,}94)^{10}. Comme (100)=1\dbinom{10}{0} = 1 et (0,06)0=1(0{,}06)^{0} = 1, il reste P(X=0)=(0,94)10≈0,539.P(X = 0) = (0{,}94)^{10} \approx 0{,}539. C'est la probabilité que les 1010 personnes soient toutes non porteuses.

  3. 3. Appliquer la formule du contraire

    On soustrait à 11 : P(X⩾1)=1−P(X=0)=1−0,539=0,461.P(X \geqslant 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0{,}539 = 0{,}461.

  4. 4. Conclure

    La probabilité qu'il y ait au moins une personne porteuse de l'anticorps dans l'échantillon est d'environ 0,4610{,}461, soit 46,1 %46{,}1\,\%. Sur près d'un échantillon sur deux, on détecte donc au moins un porteur.
Réponse finale
P(X⩾1)=1−(0,94)10≈0,461 (soit 46,1 %)P(X \geqslant 1) = 1 - (0{,}94)^{10} \approx 0{,}461 \ (\text{soit } 46{,}1\,\%)
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