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Rêves Vision
Terminale ST2S

Reconnaître une loi binomiale et calculer son espérance

Énoncé

Dans une très grande population, 15 %15\,\% des personnes sont porteuses d'un anticorps. Dans le cadre d'une enquête de santé publique, on prélève au hasard 8080 personnes et on note XX le nombre de personnes porteuses de l'anticorps dans l'échantillon.

1. Justifier que XX suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.
2. Calculer l'espérance E(X)E(X) et interpréter le résultat.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. Identifier l'épreuve de Bernoulli

    Pour une personne prélevée, il n'y a que deux issues : le succès « être porteuse de l'anticorps », de probabilité p=0,15p = 0{,}15, et l'échec, de probabilité 1−p=0,851 - p = 0{,}85. Un prélèvement est donc une épreuve de Bernoulli.

  2. 2. Vérifier le schéma de Bernoulli

    On répète ce prélèvement 8080 fois. Comme la population est très grande, les prélèvements sont identiques (la proportion p=0,15p = 0{,}15 ne change pas) et indépendants (un prélèvement n'influence pas les suivants). On a bien un schéma de Bernoulli.

  3. 3. Conclure pour la loi

    Comme XX compte le nombre de succès sur les 8080 épreuves, XX suit la loi binomiale de paramètres n=80n = 80 et p=0,15p = 0{,}15 : X∼B(80 ; 0,15).X \sim \mathcal{B}(80\,;\,0{,}15).

  4. 4. Calculer et interpréter l'espérance

    L'espérance d'une loi binomiale vaut E(X)=n p=80×0,15=12.E(X) = n\,p = 80 \times 0{,}15 = 12. Sur de tels échantillons de 8080 personnes, on attend en moyenne 1212 personnes porteuses de l'anticorps.
Réponse finale
X∼B(80 ; 0,15)etE(X)=80×0,15=12X \sim \mathcal{B}(80\,;\,0{,}15) \quad \text{et} \quad E(X) = 80 \times 0{,}15 = 12
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