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Rêves Vision
Terminale ST2S

Faux négatifs et fiabilité d'un test négatif

Énoncé

Dans une population, 3 %3\,\% des personnes sont atteintes d'une maladie (MM). On dispose d'un test de dépistage dont la sensibilité est PM(T)=0,92P_M(T) = 0{,}92 et la spécificité est PM‾(T‾)=0,96P_{\overline{M}}(\overline{T}) = 0{,}96, où TT est l'événement « le test est positif ».

1. Calculer la probabilité d'un faux négatif, c'est-à-dire d'être malade et d'avoir un test négatif : P(M∩T‾)P(M \cap \overline{T}).
2. Calculer la probabilité P(T‾)P(\overline{T}) d'avoir un test négatif.
3. En déduire la probabilité PT‾(M)P_{\overline{T}}(M) d'être malgré tout malade sachant que le test est négatif. Arrondir à 10−410^{-4} et commenter.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Construis d'abord l'arbre pondéré : premier niveau MM / M‾\overline{M}, second niveau TT / T‾\overline{T}. La sensibilité 0,920{,}92 porte sur TT sachant MM, donc PM(T‾)=1−0,92P_M(\overline{T}) = 1 - 0{,}92.
  2. Un faux négatif suit le chemin MM puis T‾\overline{T} : multiplie le long de ce chemin, P(M∩T‾)=P(M)×PM(T‾).P(M \cap \overline{T}) = P(M) \times P_M(\overline{T}).
  3. Pour P(T‾)P(\overline{T}), additionne les deux chemins menant à T‾\overline{T} (probabilités totales), puis applique PT‾(M)=P(M∩T‾)P(T‾).P_{\overline{T}}(M) = \dfrac{P(M \cap \overline{T})}{P(\overline{T})}.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Compléter l'arbre pondéré

    On a P(M)=0,03P(M) = 0{,}03 et P(M‾)=1−0,03=0,97P(\overline{M}) = 1 - 0{,}03 = 0{,}97. La sensibilité donne PM(T)=0,92P_M(T) = 0{,}92, donc par complément PM(T‾)=1−0,92=0,08P_M(\overline{T}) = 1 - 0{,}92 = 0{,}08. La spécificité donne directement PM‾(T‾)=0,96P_{\overline{M}}(\overline{T}) = 0{,}96 (et donc PM‾(T)=0,04P_{\overline{M}}(T) = 0{,}04).

  2. 2. Calculer la probabilité d'un faux négatif (question 1)

    Un faux négatif correspond au chemin « malade puis test négatif ». On multiplie le long du chemin : P(M∩T‾)=P(M)×PM(T‾)=0,03×0,08=0,0024.P(M \cap \overline{T}) = P(M) \times P_M(\overline{T}) = 0{,}03 \times 0{,}08 = 0{,}0024. La probabilité d'un faux négatif est de 0,00240{,}0024, soit 0,24 %0{,}24\,\%.

  3. 3. Calculer la probabilité d'un test négatif (question 2)

    Deux chemins mènent à un test négatif. Le chemin par M‾\overline{M} donne P(M‾∩T‾)=P(M‾)×PM‾(T‾)=0,97×0,96=0,9312.P(\overline{M} \cap \overline{T}) = P(\overline{M}) \times P_{\overline{M}}(\overline{T}) = 0{,}97 \times 0{,}96 = 0{,}9312. D'après la formule des probabilités totales, on additionne les deux chemins : P(T‾)=P(M∩T‾)+P(M‾∩T‾)=0,0024+0,9312=0,9336.P(\overline{T}) = P(M \cap \overline{T}) + P(\overline{M} \cap \overline{T}) = 0{,}0024 + 0{,}9312 = 0{,}9336.

  4. 4. Appliquer la formule de la probabilité conditionnelle (question 3)

    On cherche une probabilité « sachant que le test est négatif » : PT‾(M)=P(M∩T‾)P(T‾)=0,00240,9336.P_{\overline{T}}(M) = \dfrac{P(M \cap \overline{T})}{P(\overline{T})} = \dfrac{0{,}0024}{0{,}9336}.

  5. 5. Calculer, arrondir et commenter

    On effectue la division : 0,00240,9336≈0,0026.\dfrac{0{,}0024}{0{,}9336} \approx 0{,}0026. Une personne dont le test est négatif n'a qu'environ 0,00260{,}0026, soit 0,26 %0{,}26\,\%, de probabilité d'être malgré tout malade : un test négatif est donc très rassurant. C'est l'effet d'une bonne sensibilité combinée à une maladie rare : les faux négatifs sont très peu nombreux.
Réponse finale
PT‾(M)=P(M∩T‾)P(T‾)=0,00240,9336≈0,0026 (soit 0,26 %)P_{\overline{T}}(M) = \dfrac{P(M \cap \overline{T})}{P(\overline{T})} = \dfrac{0{,}0024}{0{,}9336} \approx 0{,}0026 \ (\text{soit } 0{,}26\,\%)
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