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Rêves Vision
Terminale ST2S

Probabilité cumulée P(X <= k) à la calculatrice

Énoncé

Un nouveau vaccin provoque un effet secondaire bénin chez 4 %4\,\% des personnes vaccinées, indépendamment les unes des autres. Un centre de vaccination suit un groupe de 2525 personnes et note XX le nombre de personnes présentant cet effet secondaire. La variable XX suit la loi binomiale B(25 ; 0,04)\mathcal{B}(25\,;\,0{,}04).

1. Calculer la probabilité P(X⩽1)P(X \leqslant 1) qu'au plus une personne présente cet effet. Arrondir à 10−310^{-3}.
2. En déduire la probabilité qu'au moins deux personnes présentent cet effet.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Décomposer la probabilité cumulée

    L'événement X⩽1X \leqslant 1 signifie « 00 ou 11 personne ». Comme ces deux cas sont incompatibles, P(X⩽1)=P(X=0)+P(X=1).P(X \leqslant 1) = P(X = 0) + P(X = 1). On peut aussi l'obtenir directement à la calculatrice avec la version cumulée : binomFReˊp(25 , 0,04 , 1)\text{binomFRép}(25\,,\,0{,}04\,,\,1) sur TI (ou `Bcd` sur Casio).

  2. 2. Calculer P(X = 0)

    P(X=0)=(250) (0,04)0 (0,96)25=(0,96)25≈0,360.P(X = 0) = \dbinom{25}{0}\,(0{,}04)^{0}\,(0{,}96)^{25} = (0{,}96)^{25} \approx 0{,}360. C'est la probabilité qu'aucune des 2525 personnes ne présente l'effet secondaire.

  3. 3. Calculer P(X = 1)

    P(X=1)=(251) (0,04)1 (0,96)24.P(X = 1) = \dbinom{25}{1}\,(0{,}04)^{1}\,(0{,}96)^{24}. Avec (251)=25\dbinom{25}{1} = 25 et (0,96)24≈0,375(0{,}96)^{24} \approx 0{,}375, on obtient P(X=1)=25×0,04×0,375≈0,375.P(X = 1) = 25 \times 0{,}04 \times 0{,}375 \approx 0{,}375.

  4. 4. Additionner pour la question 1

    On somme les deux probabilités : P(X⩽1)=P(X=0)+P(X=1)≈0,3604+0,3754≈0,7358.P(X \leqslant 1) = P(X = 0) + P(X = 1) \approx 0{,}3604 + 0{,}3754 \approx 0{,}7358. Arrondie à 10−310^{-3}, la probabilité qu'au plus une personne présente l'effet secondaire est d'environ 0,7360{,}736.

  5. 5. Conclure pour la question 2 par le contraire

    « Au moins deux personnes » est le contraire de « au plus une personne » (X⩽1X \leqslant 1). Donc P(X⩾2)=1−P(X⩽1)≈1−0,736=0,264.P(X \geqslant 2) = 1 - P(X \leqslant 1) \approx 1 - 0{,}736 = 0{,}264. La probabilité qu'au moins deux personnes présentent l'effet secondaire est d'environ 0,2640{,}264, soit 26,4 %26{,}4\,\%.
Réponse finale
P(X⩽1)≈0,736etP(X⩾2)=1−P(X⩽1)≈0,264P(X \leqslant 1) \approx 0{,}736 \quad \text{et} \quad P(X \geqslant 2) = 1 - P(X \leqslant 1) \approx 0{,}264
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