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Rêves Vision
Terminale ST2S

Probabilité totale : un test de dépistage positif

Énoncé

Dans une population, 2 %2\,\% des personnes sont atteintes d'une maladie (MM). On dispose d'un test de dépistage. Sa sensibilité est 0,950{,}95 : PM(T)=0,95P_M(T) = 0{,}95, où TT est l'événement « le test est positif ». Sa spécificité est 0,900{,}90 : PM‾(T‾)=0,90P_{\overline{M}}(\overline{T}) = 0{,}90.

Calculer la probabilité P(T)P(T) qu'une personne choisie au hasard ait un test positif. Arrondir à 10−310^{-3}.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Construire l'arbre pondéré

    Premier niveau : P(M)=0,02P(M) = 0{,}02 et P(M‾)=1−0,02=0,98P(\overline{M}) = 1 - 0{,}02 = 0{,}98. Second niveau : la sensibilité donne PM(T)=0,95P_M(T) = 0{,}95 (donc PM(T‾)=0,05P_M(\overline{T}) = 0{,}05) ; la spécificité donne PM‾(T‾)=0,90P_{\overline{M}}(\overline{T}) = 0{,}90, donc PM‾(T)=1−0,90=0,10.P_{\overline{M}}(T) = 1 - 0{,}90 = 0{,}10.

  2. 2. Calculer les chemins menant à T

    Deux chemins donnent un test positif. Chemin des vrais positifs : P(M∩T)=P(M)×PM(T)=0,02×0,95=0,019.P(M \cap T) = P(M) \times P_M(T) = 0{,}02 \times 0{,}95 = 0{,}019. Chemin des faux positifs : P(M‾∩T)=P(M‾)×PM‾(T)=0,98×0,10=0,098.P(\overline{M} \cap T) = P(\overline{M}) \times P_{\overline{M}}(T) = 0{,}98 \times 0{,}10 = 0{,}098.

  3. 3. Appliquer la formule des probabilités totales

    On additionne les deux chemins : P(T)=P(M∩T)+P(M‾∩T)=0,019+0,098=0,117.P(T) = P(M \cap T) + P(\overline{M} \cap T) = 0{,}019 + 0{,}098 = 0{,}117.

  4. 4. Conclure

    La probabilité qu'une personne ait un test positif est de 0,1170{,}117, soit environ 11,7 %11{,}7\,\%. On remarque que les faux positifs (0,0980{,}098) pèsent bien plus que les vrais positifs (0,0190{,}019), car la maladie est rare.
Réponse finale
P(T)=0,02×0,95+0,98×0,10=0,117P(T) = 0{,}02 \times 0{,}95 + 0{,}98 \times 0{,}10 = 0{,}117
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