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Terminale ST2S Approfondissement gratuit

Valeur prédictive d'un test positif (problème)

Énoncé

Dans une population, 2 %2\,\% des personnes sont atteintes d'une maladie (MM). Un test de dépistage a une sensibilité PM(T)=0,95P_M(T) = 0{,}95 et une spécificité PM‾(T‾)=0,90P_{\overline{M}}(\overline{T}) = 0{,}90, où TT est l'événement « le test est positif ».

Une personne vient de recevoir un résultat positif. Calculer la probabilité PT(M)P_T(M) qu'elle soit réellement malade (on l'appelle la valeur prédictive positive du test). Arrondir à 10−310^{-3} et commenter.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Commence par construire l'arbre pondéré : premier niveau MM / M‾\overline{M}, second niveau TT / T‾\overline{T}. La spécificité 0,900{,}90 porte sur T‾\overline{T} sachant M‾\overline{M}.
  2. La probabilité cherchée est une probabilité « sachant que le test est positif » : utilise PT(M)=P(M∩T)P(T)P_T(M) = \dfrac{P(M \cap T)}{P(T)}. Il te faut donc le numérateur P(M∩T)P(M \cap T) et le dénominateur P(T)P(T).
  3. Pour P(T)P(T), additionne les deux chemins menant à TT (probabilités totales) : le chemin par MM et le chemin par M‾\overline{M}.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Compléter l'arbre

    On a P(M)=0,02P(M) = 0{,}02 et P(M‾)=0,98P(\overline{M}) = 0{,}98. La sensibilité donne PM(T)=0,95P_M(T) = 0{,}95. La spécificité PM‾(T‾)=0,90P_{\overline{M}}(\overline{T}) = 0{,}90 donne, par complément, PM‾(T)=1−0,90=0,10.P_{\overline{M}}(T) = 1 - 0{,}90 = 0{,}10.

  2. 2. Calculer la probabilité d'un test positif

    Par la formule des probabilités totales : P(T)=P(M)×PM(T)+P(M‾)×PM‾(T).P(T) = P(M) \times P_M(T) + P(\overline{M}) \times P_{\overline{M}}(T). On calcule P(M∩T)=0,02×0,95=0,019P(M \cap T) = 0{,}02 \times 0{,}95 = 0{,}019 et P(M‾∩T)=0,98×0,10=0,098.P(\overline{M} \cap T) = 0{,}98 \times 0{,}10 = 0{,}098. Donc P(T)=0,019+0,098=0,117.P(T) = 0{,}019 + 0{,}098 = 0{,}117.

  3. 3. Appliquer la formule de la probabilité conditionnelle

    La valeur prédictive positive est PT(M)=P(M∩T)P(T)=0,0190,117.P_T(M) = \dfrac{P(M \cap T)}{P(T)} = \dfrac{0{,}019}{0{,}117}.

  4. 4. Calculer et arrondir

    On effectue la division : 0,0190,117≈0,162.\dfrac{0{,}019}{0{,}117} \approx 0{,}162.

  5. 5. Conclure et commenter

    Une personne testée positive n'a qu'environ 0,1620{,}162, soit 16,2 %16{,}2\,\%, de probabilité d'être réellement malade. Bien que le test soit performant (95 %95\,\% de sensibilité), la maladie est si rare que les faux positifs sont majoritaires : c'est pourquoi un test positif est en général confirmé par un second examen.
Réponse finale
PT(M)=P(M∩T)P(T)=0,0190,117≈0,162 (soit 16,2 %)P_T(M) = \dfrac{P(M \cap T)}{P(T)} = \dfrac{0{,}019}{0{,}117} \approx 0{,}162 \ (\text{soit } 16{,}2\,\%)
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