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Terminale STI2D Approfondissement gratuit

Charge transportée par un courant décroissant

Énoncé

Lors de la décharge d'un condensateur dans un circuit RC, l'intensité du courant décroît selon i(t)=0,5 e−t2i(t) = 0{,}5\,e^{-\frac{t}{2}} (en ampères), où tt est en secondes. La charge QQ (en coulombs) qui traverse le circuit entre les instants 00 et 44 s est l'intégrale de l'intensité : Q=∫04i(t) dtQ = \displaystyle\int_0^4 i(t)\,dt.

1. Donner la valeur exacte de QQ sous forme d'une expression avec ee.
2. En déduire une valeur approchée au millième de coulomb, et interpréter l'aire.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. La charge est l'aire sous la courbe de l'intensité : tu dois calculer ∫040,5 e−t2 dt\int_0^4 0{,}5\,e^{-\frac{t}{2}}\,dt.
  2. Pense à la primitive de e−t2e^{-\frac{t}{2}} : c'est −2 e−t2-2\,e^{-\frac{t}{2}}. Garde le facteur 0,50{,}5 par linéarité, la primitive de ii est donc − e−t2-\,e^{-\frac{t}{2}}.
  3. Calcule [− e−t2]04=− e−2−(− e0)\big[-\,e^{-\frac{t}{2}}\big]_0^4 = -\,e^{-2} - (-\,e^{0}), puis utilise e0=1e^{0} = 1 pour obtenir 1−e−21 - e^{-2}.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Identifier la primitive à utiliser

    On rappelle qu'une primitive de t↦e−t2t \mapsto e^{-\frac{t}{2}} est t↦−2 e−t2t \mapsto -2\,e^{-\frac{t}{2}}. En effet, en dérivant : (−2 e−t2)′=−2×(−12)e−t2=e−t2\big(-2\,e^{-\frac{t}{2}}\big)' = -2 \times \big(-\frac{1}{2}\big)e^{-\frac{t}{2}} = e^{-\frac{t}{2}}. C'est bien la fonction de départ.

  2. 2. Primitiver l'intensité

    Par linéarité, on garde le facteur 0,50{,}5 devant. Une primitive de i(t)=0,5 e−t2i(t) = 0{,}5\,e^{-\frac{t}{2}} est donc F(t)=0,5×(−2 e−t2)=− e−t2F(t) = 0{,}5 \times \big(-2\,e^{-\frac{t}{2}}\big) = -\,e^{-\frac{t}{2}}. Vérification : F′(t)=−(−12)e−t2=0,5 e−t2=i(t)F'(t) = -\big(-\frac{1}{2}\big)e^{-\frac{t}{2}} = 0{,}5\,e^{-\frac{t}{2}} = i(t), c'est correct.

  3. 3. Appliquer les bornes (valeur exacte)

    On calcule Q=[ − e−t2 ]04=(− e−42)−(− e−02)=− e−2+e0Q = \Big[\,-\,e^{-\frac{t}{2}}\,\Big]_0^4 = \Big(-\,e^{-\frac{4}{2}}\Big) - \Big(-\,e^{-\frac{0}{2}}\Big) = -\,e^{-2} + e^{0}. Comme e0=1e^{0} = 1, on obtient la valeur exacte Q=1−e−2Q = 1 - e^{-2} coulombs.

  4. 4. Valeur approchée et interprétation

    À la calculatrice, e−2≈0,1353e^{-2} \approx 0{,}1353, donc Q=1−e−2≈1−0,1353≈0,865Q = 1 - e^{-2} \approx 1 - 0{,}1353 \approx 0{,}865 C. Comme i(t)i(t) est positive sur [0 ;4][0\,;4], ce nombre est bien positif : c'est l'aire sous la courbe de l'intensité, c'est-à-dire la charge totale qui a circulé. On vérifie l'ordre de grandeur : l'intensité part de i(0)=0,5i(0) = 0{,}5 A et chute vite, donc une charge inférieure à 0,5×4=20{,}5 \times 4 = 2 C est cohérente. La charge transportée entre 00 et 44 s vaut exactement 1−e−21 - e^{-2} C, soit environ 0,8650{,}865 C.
Réponse finale
Q=[− e−t2]04=1−e−2≈0,865 CQ = \left[-\,e^{-\frac{t}{2}}\right]_0^4 = 1 - e^{-2} \approx 0{,}865 \ \text{C}
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