Aller au contenu
Rêves Vision
Terminale STI2D

Énergie reçue par un panneau solaire

Énoncé

Un panneau photovoltaïque est étudié sur une demi-journée d'ensoleillement, de t=0t = 0 à t=6t = 6 (en heures). Sa puissance instantanée est modélisée par P(t)=6t−t2P(t) = 6t - t^2 (en kW), positive sur [0 ;6][0\,;6]. L'énergie produite (en kWh) est l'intégrale de la puissance sur la durée : E=∫06P(t) dtE = \displaystyle\int_0^6 P(t)\,dt.

Calculer l'énergie totale produite par le panneau entre 00 et 66 heures.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. L'énergie est l'aire sous la courbe de la puissance : il s'agit de calculer ∫06(6t−t2) dt\int_0^6 (6t - t^2)\,dt.
  2. Primitive chaque terme séparément : pour 6t6t tu obtiens 3t23t^2, pour t2t^2 tu obtiens t33\frac{t^3}{3}.
  3. Une fois la primitive F(t)=3t2−t33F(t) = 3t^2 - \frac{t^3}{3} trouvée, calcule F(6)−F(0)F(6) - F(0) sans oublier le signe moins.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Poser l'intégrale à calculer

    L'énergie est l'aire sous la courbe de la puissance, donc E=∫06(6t−t2) dtE = \displaystyle\int_0^6 (6t - t^2)\,dt. La fonction P(t)=6t−t2P(t) = 6t - t^2 est un polynôme, donc continue sur [0 ;6][0\,;6] : on peut l'intégrer terme par terme grâce à la linéarité.

  2. 2. Chercher une primitive de la puissance

    On primitive chaque terme : une primitive de 6t6t est 6×t22=3t26 \times \frac{t^2}{2} = 3t^2, et une primitive de t2t^2 est t33\frac{t^3}{3}. Une primitive de PP est donc F(t)=3t2−t33F(t) = 3t^2 - \frac{t^3}{3}. On vérifie : F′(t)=6t−3t23=6t−t2=P(t)F'(t) = 6t - \frac{3t^2}{3} = 6t - t^2 = P(t), c'est correct.

  3. 3. Appliquer les bornes

    On calcule E=[ F(t) ]06=F(6)−F(0)E = \Big[\,F(t)\,\Big]_0^6 = F(6) - F(0). D'abord F(6)=3×62−633=3×36−2163=108−72=36F(6) = 3 \times 6^2 - \frac{6^3}{3} = 3 \times 36 - \frac{216}{3} = 108 - 72 = 36. Ensuite F(0)=3×02−033=0F(0) = 3 \times 0^2 - \frac{0^3}{3} = 0.

  4. 4. Conclure et vérifier l'unité

    Donc E=36−0=36E = 36 - 0 = 36. Comme tt est en heures et PP en kW, l'aire est en kWh : l'énergie vaut 3636 kWh. On vérifie l'ordre de grandeur : la puissance maximale est atteinte en t=3t = 3 avec P(3)=18−9=9P(3) = 18 - 9 = 9 kW sur 66 h, soit au plus 5454 kWh ; 3636 kWh est cohérent (la courbe ne reste pas au maximum). Le panneau produit 3636 kWh sur la demi-journée.
Réponse finale
E=[3t2−t33]06=108−72=36 kWhE = \left[3t^2 - \frac{t^3}{3}\right]_0^6 = 108 - 72 = 36 \ \text{kWh}
Corrigé PDF soigné · Premium

Ta progression

Chapitre

Calcul intégral ← Retour au cours

À suivre