Terminale STI2D · Chapitre 6

Calcul intégral

Cours de Terminale STI2D sur le calcul intégral : intégrale comme aire, lien primitive-intégrale, linéarité et Chasles, valeur moyenne, estimation par rectangles. Exercices corrigés.

8 exercices corrigés · Terminale STI2D - mathématiques · Mis à jour en juin 2026

Prérequis

À maîtriser avant d'attaquer ce chapitre :

Primitives (compléments)

En Première STI2D, tu as appris à remonter une dérivée avec les primitives. Le calcul intégral est l’étape suivante : il permet de cumuler une grandeur mesurée à chaque instant. Connaissant la puissance reçue par un panneau, on en déduit l’énergie ; connaissant le courant qui charge un condensateur, on en déduit la charge. Et géométriquement, une intégrale, c’est tout simplement une aire sous une courbe.

Ce que tu sauras faire

Je sais interpréter l’intégrale d’une fonction positive comme une aire en unités d’aire.
Je sais calculer une intégrale avec une primitive : $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$ .
Je sais utiliser la linéarité et la relation de Chasles pour découper ou simplifier un calcul.
Je sais calculer la valeur moyenne d’une fonction sur un intervalle.
Je sais estimer graphiquement une aire par la méthode des rectangles.

À quoi ça sert, concrètement ?

Imagine un panneau solaire. À chaque instant, il fournit une certaine puissance $P(t)$ (en kW). Mais ce qui t’intéresse à la fin de la journée, c’est l’énergie produite (en kWh) : il faut additionner toutes les petites contributions, instant après instant. C’est exactement ce que fait l’intégrale.

Même chose pour la charge d’un condensateur à partir du courant $i(t)$ , le volume d’eau transvasé à partir d’un débit, ou la distance parcourue à partir d’une vitesse. À chaque fois, la grandeur cumulée est l’aire sous la courbe de la grandeur instantanée. L’intégrale est l’outil qui calcule cette aire exactement.

Intégrale d'une fonction continue positive (aire)

Soit $f$ une fonction continue et positive sur un intervalle $[a\,;b]$ , de courbe $\mathcal{C}_f$ .

L’intégrale de $f$ entre $a$ et $b$ , notée $\int_a^b f(x)\,dx,$ est l’aire, exprimée en unités d’aire, du domaine compris entre la courbe $\mathcal{C}_f$ , l’axe des abscisses, et les deux droites verticales d’équations $x = a$ et $x = b$ .

Les nombres $a$ et $b$ sont les bornes de l’intégrale ( $a$ borne du bas, $b$ borne du haut). La lettre $x$ est une variable muette : on peut l’appeler $t$ sans rien changer.

Lire une aire simple

Pour $f(x) = 3x$ sur $[0\,;2]$ , la courbe est une droite. Le domaine sous la courbe est un triangle rectangle de base $2$ et de hauteur $f(2) = 6$ . Son aire vaut : $\int_0^2 3x\,dx = \frac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2} = \frac{2 \times 6}{2} = 6 \text{ unités d'aire.}$ Cette aire « à la main » nous servira plus loin à vérifier le calcul par primitive.

Lien primitive - intégrale (le théorème clé)

Soit $f$ une fonction continue sur $[a\,;b]$ , et $F$ une primitive de $f$ sur cet intervalle (donc $F' = f$ ). Alors : $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a).$

On note souvent ce calcul avec des crochets : $\int_a^b f(x)\,dx = \Big[\,F(x)\,\Big]_a^b = F(b) - F(a).$

Le résultat ne dépend pas de la primitive choisie : si on ajoutait une constante $C$ , elle s’éliminerait dans la soustraction $\big(F(b)+C\big) - \big(F(a)+C\big)$ .

Calculer une intégrale avec une primitive

Vérifier que $f$ est continue sur $[a\,;b]$ et repérer les bornes.
Chercher une primitive $F$ de $f$ (la plus simple, sans la constante).
Écrire les crochets : $\Big[\,F(x)\,\Big]_a^b$ .
Calculer $F(b) - F(a)$ en remplaçant, sans oublier le signe moins devant $F(a)$ .

Exemple : $\displaystyle\int_0^2 3x\,dx$ . Une primitive de $3x$ est $F(x) = \dfrac{3x^2}{2}$ , donc $\int_0^2 3x\,dx = \left[\frac{3x^2}{2}\right]_0^2 = \frac{3 \times 2^2}{2} - \frac{3 \times 0^2}{2} = 6 - 0 = 6.$ On retrouve bien l’aire du triangle calculée plus haut : les deux méthodes concordent.

Linéarité de l'intégrale

Pour deux fonctions continues $f$ et $g$ sur $[a\,;b]$ et deux réels $k$ et $\lambda$ : $\int_a^b \big(k\,f(x) + \lambda\,g(x)\big)\,dx = k\int_a^b f(x)\,dx + \lambda\int_a^b g(x)\,dx.$

Concrètement : on peut sortir les coefficients et séparer les sommes. C’est ce qui permet d’intégrer un polynôme terme par terme.

Relation de Chasles

Pour une fonction continue $f$ et trois réels $a$ , $b$ , $c$ de l’intervalle : $\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx.$

Autrement dit, on peut découper un intervalle en deux et additionner les deux aires. C’est très utile quand la fonction change d’expression au point $c$ (fonction définie par morceaux), par exemple une puissance qui monte puis descend.

Valeur moyenne d'une fonction

Soit $f$ continue sur $[a\,;b]$ avec $a \neq b$ . La valeur moyenne de $f$ sur $[a\,;b]$ est le nombre : $m = \frac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,dx.$

C’est la hauteur du rectangle de base $[a\,;b]$ qui aurait la même aire que le domaine sous la courbe. En technologie, c’est la valeur moyenne d’une tension, d’une puissance ou d’une intensité sur une période.

Une valeur moyenne

La valeur moyenne de $f(x) = 3x$ sur $[0\,;2]$ vaut : $m = \frac{1}{2 - 0}\int_0^2 3x\,dx = \frac{1}{2} \times 6 = 3.$ Le rectangle de base $2$ et de hauteur $3$ a bien une aire de $6$ , identique à celle sous la droite : c’est cohérent.

Estimer une aire par la méthode des rectangles

Quand on ne connaît qu’une courbe ou un tableau de valeurs (et pas la formule de $f$ ), on encadre ou on approche l’aire par des rectangles de même largeur.

Choisir une largeur de rectangle $h$ (le pas entre deux mesures).
Rectangles de gauche : sur chaque tranche, prendre la hauteur égale à la valeur au bord gauche.
Rectangles de droite : prendre la hauteur égale à la valeur au bord droit.
Aire d’un rectangle $=$ largeur $\times$ hauteur ; on additionne tous les rectangles.

Si la fonction est croissante, les rectangles de gauche sous-estiment l’aire et ceux de droite la surestiment : la vraie aire est entre les deux. Une bonne estimation est souvent leur moyenne.

Les pièges à éviter

Oublier le signe moins devant $F(a)$ . On écrit parfois, à tort, $\int_a^b f = F(b) + F(a)$ . C’est faux : la formule est $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$ , avec une soustraction.
Confondre primitive et intégrale. Une primitive est une fonction (définie à une constante près) ; une intégrale $\int_a^b f$ est un nombre (une aire). Ne mets pas de bornes sur une primitive, ni de $+\,C$ sur le résultat d’une intégrale.
Oublier de diviser pour la valeur moyenne. La valeur moyenne n’est pas l’intégrale toute seule : il faut diviser par $b - a$ . Écrire $m = \int_a^b f$ au lieu de $m = \dfrac{1}{b-a}\int_a^b f$ donne un résultat faux (souvent un nombre bien trop grand).
Mélanger les unités de l’aire. Si $t$ est en heures et $P$ en kW, l’intégrale $\int P\,dt$ est en kWh, pas en kW : l’unité de l’aire est le produit des unités des deux axes.

Le réflexe vérification

Après un calcul d’intégrale, demande-toi toujours : « Est-ce une aire ? » Si la fonction est positive sur l’intervalle, le résultat doit être positif. Un résultat négatif est le signe d’une erreur (souvent le signe moins mal placé ou les bornes inversées). Et un ordre de grandeur se vérifie vite avec un rectangle approché : hauteur moyenne $\times$ largeur de l’intervalle.

Exercices corrigés

Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.

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Estimer une aire par la méthode des rectangles (débit d'eau)

Tu remplis une grande piscine avec une pompe. Le débit $D$ (en litres par minute) n'est pas constant : la pompe monte progressivement en puissance. On relève le débit toutes les minutes pendant $5$ minutes :

| $t$ (min) | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $D$ (L/min) | $0$ | $10$ | $18$ | $24$ | $28$ | $30$ |

Le volume d'eau ajouté entre $0$ et $5$ min est l'aire sous la courbe du débit. On ne connaît pas la formule de $D$ : estime ce volume par la méthode des rectangles, en donnant une valeur par défaut, une valeur par excès, puis une estimation finale.

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Intégrale de 3x et interprétation comme aire

On considère la fonction $f$ définie sur $[0\,;2]$ par $f(x) = 3x$ . Cette fonction est continue et positive sur $[0\,;2]$ .

1. Calculer $\displaystyle\int_0^2 3x\,dx$ à l'aide d'une primitive.
2. Retrouver ce résultat en interprétant l'intégrale comme l'aire d'un triangle.

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Énergie d'un serveur avec une puissance en deux phases

Dans un centre de données (datacenter), on suit la puissance électrique $P$ (en kW) consommée par un serveur lors d'un calcul lourd, sur une plage de $t = 0$ à $t = 8$ (en heures). La montée en charge se fait en deux phases :

- pendant la phase de démarrage, sur $[0\,;3]$ , la puissance augmente régulièrement et est modélisée par $P(t) = 4t$ ;
- ensuite, sur $[3\,;8]$ , le serveur tourne à plein régime à puissance constante $P(t) = 12$ .

L'énergie consommée (en kWh) est l'aire totale sous la courbe de la puissance : $E = \displaystyle\int_0^8 P(t)\,dt$ .

Calculer cette énergie en utilisant la relation de Chasles.

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Énergie reçue par un panneau solaire

Un panneau photovoltaïque est étudié sur une demi-journée d'ensoleillement, de $t = 0$ à $t = 6$ (en heures). Sa puissance instantanée est modélisée par $P(t) = 6t - t^2$ (en kW), positive sur $[0\,;6]$ . L'énergie produite (en kWh) est l'intégrale de la puissance sur la durée : $E = \displaystyle\int_0^6 P(t)\,dt$ .

Calculer l'énergie totale produite par le panneau entre $0$ et $6$ heures.

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Valeur moyenne d'une tension sur une période

Aux bornes d'un composant, une tension décroît linéairement sur une période. Sur une période de durée $T = 4$ (en millisecondes), elle est modélisée par $u(t) = 20 - 5t$ (en volts), avec $t$ en ms. La tension reste positive sur $[0\,;4]$ .

Déterminer la valeur moyenne de cette tension sur la période $[0\,;4]$ , puis interpréter le résultat.

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Bonus

Charge transportée par un courant décroissant

Lors de la décharge d'un condensateur dans un circuit RC, l'intensité du courant décroît selon $i(t) = 0{,}5\,e^{-\frac{t}{2}}$ (en ampères), où $t$ est en secondes. La charge $Q$ (en coulombs) qui traverse le circuit entre les instants $0$ et $4$ s est l'intégrale de l'intensité : $Q = \displaystyle\int_0^4 i(t)\,dt$ .

1. Donner la valeur exacte de $Q$ sous forme d'une expression avec $e$ .
2. En déduire une valeur approchée au millième de coulomb, et interpréter l'aire.

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Distance et vitesse moyenne d'une moto en accélération

Sur une piste d'essai, une moto électrique accélère en ligne droite pendant $6$ secondes. Sa vitesse $v$ (en mètres par seconde) est mesurée par les capteurs et modélisée par $v(t) = 6t - \dfrac{t^2}{2}$ , pour $t$ allant de $0$ à $6$ (en secondes). Cette vitesse est positive sur $[0\,;6]$ .

1. La distance parcourue (en mètres) est l'aire sous la courbe de la vitesse : $d = \displaystyle\int_0^6 v(t)\,dt$ . Calculer cette distance.
2. En déduire la vitesse moyenne de la moto sur ces $6$ secondes.

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Total et moyenne des ventes d'une boutique de sneakers

Une boutique de revente de sneakers lance une paire très attendue pendant $12$ jours. Le rythme des ventes $v$ (en paires vendues par jour) varie : il monte au début grâce au buzz, puis redescend quand l'engouement retombe. Sur $[0\,;12]$ , ce rythme est modélisé par $v(t) = 12t - t^2$ (en paires par jour), où $t$ est le nombre de jours écoulés depuis le lancement. Ce rythme reste positif sur $[0\,;12]$ .

1. Le nombre total de paires vendues sur les $12$ jours est l'aire sous la courbe du rythme de ventes : $N = \displaystyle\int_0^{12} v(t)\,dt$ . Calculer ce total.
2. En déduire la valeur moyenne du rythme de ventes, c'est-à-dire le nombre moyen de paires vendues par jour.

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Teste-toi

Quiz : 6 questions auto-corrigées

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Questions fréquentes

Comment calcule-t-on l'intégrale d'une fonction continue ?

On cherche d'abord une primitive F de la fonction f sur l'intervalle, puis on calcule la valeur de cette primitive en b moins sa valeur en a. L'intégrale de f entre a et b est donc égale à F de b moins F de a. Par exemple, pour la fonction f définie par f de x égale 3 x entre 0 et 2, une primitive est F définie par F de x égale 3 x au carré divisé par 2 ; l'intégrale vaut F de 2 moins F de 0, soit 6 moins 0, c'est-à-dire 6.

Pourquoi dit-on qu'une intégrale est une aire ?

Quand la fonction est continue et positive sur un intervalle, son intégrale entre a et b est exactement l'aire, en unités d'aire, du domaine situé entre la courbe, l'axe des abscisses et les deux droites verticales d'abscisses a et b. C'est pour cela qu'une intégrale ne peut pas être négative tant que la courbe reste au-dessus de l'axe.

Qu'est-ce que la valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle ?

C'est la hauteur du rectangle qui aurait la même aire que celle sous la courbe sur cet intervalle. On la calcule en divisant l'intégrale de la fonction entre a et b par la longueur de l'intervalle, c'est-à-dire b moins a. En technologie, elle sert par exemple à donner la valeur moyenne d'une tension ou d'une puissance sur une période.