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Rêves Vision
Terminale STI2D

Intégrale de 3x et interprétation comme aire

Énoncé

On considère la fonction ff définie sur [0 ;2][0\,;2] par f(x)=3xf(x) = 3x. Cette fonction est continue et positive sur [0 ;2][0\,;2].

1. Calculer ∫023x dx\displaystyle\int_0^2 3x\,dx à l'aide d'une primitive.
2. Retrouver ce résultat en interprétant l'intégrale comme l'aire d'un triangle.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Chercher une primitive de f

    La fonction f(x)=3xf(x) = 3x est continue sur [0 ;2][0\,;2], elle admet donc des primitives. Une primitive de 3x3x est F(x)=3x22F(x) = \frac{3x^2}{2}, car en dérivant FF on retrouve bien F′(x)=3×2x2=3x=f(x)F'(x) = \frac{3 \times 2x}{2} = 3x = f(x). On choisit cette primitive (sans la constante, inutile ici).

  2. 2. Appliquer la formule de l'intégrale

    D'après le lien primitive-intégrale, ∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a). On écrit donc avec les crochets : ∫023x dx=[3x22]02=3×222−3×022.\displaystyle\int_0^2 3x\,dx = \left[\frac{3x^2}{2}\right]_0^2 = \frac{3 \times 2^2}{2} - \frac{3 \times 0^2}{2}.

  3. 3. Calculer la différence

    On calcule chaque terme : 3×222=3×42=122=6\frac{3 \times 2^2}{2} = \frac{3 \times 4}{2} = \frac{12}{2} = 6, et 3×022=0\frac{3 \times 0^2}{2} = 0. Donc ∫023x dx=6−0=6\displaystyle\int_0^2 3x\,dx = 6 - 0 = 6 unités d'aire. Le résultat est positif, ce qui est normal pour une aire.

  4. 4. Vérifier avec l'aire du triangle

    La courbe de f(x)=3xf(x) = 3x est une droite passant par l'origine. Le domaine sous la courbe entre x=0x = 0 et x=2x = 2 est un triangle rectangle de base 22 (sur l'axe des abscisses) et de hauteur f(2)=3×2=6f(2) = 3 \times 2 = 6. Son aire vaut base×hauteur2=2×62=6\frac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2} = \frac{2 \times 6}{2} = 6 unités d'aire. On retrouve exactement la même valeur que par le calcul : l'intégrale de 3x3x entre 00 et 22 vaut 66 unités d'aire.
Réponse finale
∫023x dx=[3x22]02=6 (uniteˊs d’aire)\int_0^2 3x\,dx = \left[\frac{3x^2}{2}\right]_0^2 = 6 \ \text{(unités d'aire)}
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