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Rêves Vision
Terminale STI2D

Distance et vitesse moyenne d'une moto en accélération

Énoncé

Sur une piste d'essai, une moto électrique accélère en ligne droite pendant 66 secondes. Sa vitesse vv (en mètres par seconde) est mesurée par les capteurs et modélisée par v(t)=6t−t22v(t) = 6t - \dfrac{t^2}{2}, pour tt allant de 00 à 66 (en secondes). Cette vitesse est positive sur [0 ;6][0\,;6].

1. La distance parcourue (en mètres) est l'aire sous la courbe de la vitesse : d=∫06v(t) dtd = \displaystyle\int_0^6 v(t)\,dt. Calculer cette distance.
2. En déduire la vitesse moyenne de la moto sur ces 66 secondes.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. La distance est l'aire sous la courbe de la vitesse : commence par calculer ∫06(6t−t22) dt\displaystyle\int_0^6 \big(6t - \dfrac{t^2}{2}\big)\,dt.
  2. Primitive chaque terme séparément : pour 6t6t tu obtiens 3t23t^2, et pour t22\dfrac{t^2}{2} tu obtiens t36\dfrac{t^3}{6}. La primitive de vv est donc F(t)=3t2−t36F(t) = 3t^2 - \dfrac{t^3}{6}.
  3. Pour la vitesse moyenne, ne reprends pas un nouveau calcul d'intégrale : utilise vmoy=16∫06v(t) dt=d6v_{\text{moy}} = \dfrac{1}{6}\displaystyle\int_0^6 v(t)\,dt = \dfrac{d}{6} avec la distance déjà trouvée.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Poser l'intégrale de la distance

    La distance est l'aire sous la courbe de la vitesse, donc d=∫06(6t−t22) dtd = \displaystyle\int_0^6 \Big(6t - \dfrac{t^2}{2}\Big)\,dt. La fonction v(t)=6t−t22v(t) = 6t - \dfrac{t^2}{2} est un polynôme, donc continue sur [0 ;6][0\,;6] : on l'intègre terme par terme grâce à la linéarité.

  2. 2. Chercher une primitive de la vitesse

    On primitive chaque terme. Une primitive de 6t6t est 6×t22=3t26 \times \dfrac{t^2}{2} = 3t^2. Une primitive de t22\dfrac{t^2}{2} est 12×t33=t36\dfrac{1}{2} \times \dfrac{t^3}{3} = \dfrac{t^3}{6}. Une primitive de vv est donc F(t)=3t2−t36F(t) = 3t^2 - \dfrac{t^3}{6}. On vérifie en dérivant : F′(t)=6t−3t26=6t−t22=v(t)F'(t) = 6t - \dfrac{3t^2}{6} = 6t - \dfrac{t^2}{2} = v(t), c'est correct.

  3. 3. Appliquer les bornes (distance)

    On calcule d=[ F(t) ]06=F(6)−F(0)d = \Big[\,F(t)\,\Big]_0^6 = F(6) - F(0). D'abord F(6)=3×62−636=3×36−2166=108−36=72F(6) = 3 \times 6^2 - \dfrac{6^3}{6} = 3 \times 36 - \dfrac{216}{6} = 108 - 36 = 72. Ensuite F(0)=3×02−036=0F(0) = 3 \times 0^2 - \dfrac{0^3}{6} = 0. Donc d=72−0=72d = 72 - 0 = 72. Comme vv est en m/s et tt en s, l'aire est en mètres : la moto parcourt 7272 m.

  4. 4. Calculer la vitesse moyenne

    La vitesse moyenne est la valeur moyenne de vv sur [0 ;6][0\,;6] : vmoy=16−0∫06v(t) dt=16×d=16×72=12v_{\text{moy}} = \dfrac{1}{6 - 0}\displaystyle\int_0^6 v(t)\,dt = \dfrac{1}{6} \times d = \dfrac{1}{6} \times 72 = 12. La vitesse moyenne vaut donc 1212 m/s. On vérifie la cohérence : la vitesse part de v(0)=0v(0) = 0 et atteint v(6)=36−18=18v(6) = 36 - 18 = 18 m/s ; une moyenne de 1212 m/s, comprise entre 00 et 1818, est tout à fait plausible. La moto parcourt 7272 m, à une vitesse moyenne de 1212 m/s sur les 66 secondes.
Réponse finale
d=[3t2−t36]06=72 metvmoy=726=12 m/sd = \left[3t^2 - \dfrac{t^3}{6}\right]_0^6 = 72 \ \text{m} \quad \text{et} \quad v_{\text{moy}} = \dfrac{72}{6} = 12 \ \text{m/s}
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