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Rêves Vision
Terminale STI2D

Énergie d'un serveur avec une puissance en deux phases

Énoncé

Dans un centre de données (datacenter), on suit la puissance électrique PP (en kW) consommée par un serveur lors d'un calcul lourd, sur une plage de t=0t = 0 à t=8t = 8 (en heures). La montée en charge se fait en deux phases :

- pendant la phase de démarrage, sur [0 ;3][0\,;3], la puissance augmente régulièrement et est modélisée par P(t)=4tP(t) = 4t ;
- ensuite, sur [3 ;8][3\,;8], le serveur tourne à plein régime à puissance constante P(t)=12P(t) = 12.

L'énergie consommée (en kWh) est l'aire totale sous la courbe de la puissance : E=∫08P(t) dtE = \displaystyle\int_0^8 P(t)\,dt.

Calculer cette énergie en utilisant la relation de Chasles.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Découper l'intervalle avec Chasles

    La puissance n'a pas la même expression avant et après t=3t = 3 : la fonction est définie par morceaux. D'après la relation de Chasles, on découpe l'intégrale au point de raccord t=3t = 3 : E=∫08P(t) dt=∫03P(t) dt+∫38P(t) dtE = \displaystyle\int_0^8 P(t)\,dt = \int_0^3 P(t)\,dt + \int_3^8 P(t)\,dt. On vérifie au passage que le raccord est cohérent : en t=3t = 3, la phase de démarrage donne 4×3=124 \times 3 = 12, ce qui correspond bien à la puissance constante de la deuxième phase. La fonction est donc continue, on peut intégrer chaque morceau.

  2. 2. Calculer l'aire de la première phase

    Sur [0 ;3][0\,;3], on a P(t)=4tP(t) = 4t. Une primitive de 4t4t est F1(t)=4×t22=2t2F_1(t) = 4 \times \dfrac{t^2}{2} = 2t^2, car F1′(t)=2×2t=4tF_1'(t) = 2 \times 2t = 4t. Donc ∫034t dt=[ 2t2 ]03=2×32−2×02=2×9−0=18.\displaystyle\int_0^3 4t\,dt = \Big[\,2t^2\,\Big]_0^3 = 2 \times 3^2 - 2 \times 0^2 = 2 \times 9 - 0 = 18. La première phase représente 1818 kWh.

  3. 3. Calculer l'aire de la deuxième phase

    Sur [3 ;8][3\,;8], on a P(t)=12P(t) = 12 (constante). Une primitive de 1212 est F2(t)=12tF_2(t) = 12t, car F2′(t)=12F_2'(t) = 12. Donc ∫3812 dt=[ 12t ]38=12×8−12×3=96−36=60.\displaystyle\int_3^8 12\,dt = \Big[\,12t\,\Big]_3^8 = 12 \times 8 - 12 \times 3 = 96 - 36 = 60. La deuxième phase représente 6060 kWh. On pouvait aussi voir que c'est l'aire d'un rectangle de base 8−3=58 - 3 = 5 h et de hauteur 1212 kW, soit 5×12=605 \times 12 = 60.

  4. 4. Additionner et conclure

    On additionne les deux morceaux : E=18+60=78E = 18 + 60 = 78. Comme tt est en heures et PP en kW, l'aire est en kWh. Le résultat est positif, ce qui est normal pour une aire sous une courbe de puissance positive. Le serveur consomme 7878 kWh d'énergie entre 00 et 88 heures.
Réponse finale
E=∫034t dt+∫3812 dt=18+60=78 kWhE = \int_0^3 4t\,dt + \int_3^8 12\,dt = 18 + 60 = 78 \ \text{kWh}
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