Valeur moyenne d'une tension sur une période

La valeur moyenne de $u$ sur $[a\,;b]$ est $m = \frac{1}{b - a}\displaystyle\int_a^b u(t)\,dt$. Ici $a = 0$, $b = T = 4$, donc $m = \frac{1}{4 - 0}\displaystyle\int_0^4 (20 - 5t)\,dt = \frac{1}{4}\displaystyle\int_0^4 (20 - 5t)\,dt$.

La fonction $u(t) = 20 - 5t$ est affine, donc continue. Une primitive est $F(t) = 20t - 5 \times \frac{t^2}{2} = 20t - \frac{5t^2}{2}$. On applique les bornes : $\displaystyle\int_0^4 (20 - 5t)\,dt = \Big[\,20t - \frac{5t^2}{2}\,\Big]_0^4 = \Big(20 \times 4 - \frac{5 \times 4^2}{2}\Big) - 0.$

On calcule : $20 \times 4 = 80$ et $\frac{5 \times 16}{2} = \frac{80}{2} = 40$. Donc $\displaystyle\int_0^4 (20 - 5t)\,dt = 80 - 40 = 40$. Cette intégrale s'exprime en V$\cdot$ms (l'aire sous la courbe).

On divise par la longueur de l'intervalle : $m = \frac{1}{4} \times 40 = 10$ V. La valeur moyenne de la tension sur la période vaut $10$ V. Interprétation : c'est la hauteur du rectangle de base $4$ ms qui aurait la même aire que celle sous la courbe ; une tension constante de $10$ V transporterait la même chose sur la période. La tension partant de $20$ V pour finir à $0$ V, une moyenne de $10$ V est tout à fait cohérente.