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Rêves Vision
Terminale STI2D

Total et moyenne des ventes d'une boutique de sneakers

Énoncé

Une boutique de revente de sneakers lance une paire très attendue pendant 1212 jours. Le rythme des ventes vv (en paires vendues par jour) varie : il monte au début grâce au buzz, puis redescend quand l'engouement retombe. Sur [0 ;12][0\,;12], ce rythme est modélisé par v(t)=12t−t2v(t) = 12t - t^2 (en paires par jour), où tt est le nombre de jours écoulés depuis le lancement. Ce rythme reste positif sur [0 ;12][0\,;12].

1. Le nombre total de paires vendues sur les 1212 jours est l'aire sous la courbe du rythme de ventes : N=∫012v(t) dtN = \displaystyle\int_0^{12} v(t)\,dt. Calculer ce total.
2. En déduire la valeur moyenne du rythme de ventes, c'est-à-dire le nombre moyen de paires vendues par jour.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Le total vendu est l'aire sous la courbe du rythme de ventes : commence par calculer ∫012(12t−t2) dt\displaystyle\int_0^{12} (12t - t^2)\,dt.
  2. Primitive chaque terme séparément : pour 12t12t tu obtiens 6t26t^2, et pour t2t^2 tu obtiens t33\dfrac{t^3}{3}. La primitive de vv est donc F(t)=6t2−t33F(t) = 6t^2 - \dfrac{t^3}{3}.
  3. Pour le rythme moyen, ne recalcule pas l'intégrale : divise le total déjà trouvé par la durée, soit vmoy=N12=28812v_{\text{moy}} = \dfrac{N}{12} = \dfrac{288}{12}.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Poser l'intégrale du total

    Le total cumulé est l'aire sous la courbe du rythme de ventes, donc N=∫012(12t−t2) dtN = \displaystyle\int_0^{12} (12t - t^2)\,dt. La fonction v(t)=12t−t2v(t) = 12t - t^2 est un polynôme, donc continue sur [0 ;12][0\,;12] : on l'intègre terme par terme grâce à la linéarité.

  2. 2. Chercher une primitive du rythme de ventes

    On primitive chaque terme. Une primitive de 12t12t est 12×t22=6t212 \times \dfrac{t^2}{2} = 6t^2. Une primitive de t2t^2 est t33\dfrac{t^3}{3}. Une primitive de vv est donc F(t)=6t2−t33F(t) = 6t^2 - \dfrac{t^3}{3}. On vérifie en dérivant : F′(t)=12t−3t23=12t−t2=v(t)F'(t) = 12t - \dfrac{3t^2}{3} = 12t - t^2 = v(t), c'est correct.

  3. 3. Appliquer les bornes (total des ventes)

    On calcule N=[ F(t) ]012=F(12)−F(0)N = \Big[\,F(t)\,\Big]_0^{12} = F(12) - F(0). D'abord F(12)=6×122−1233=6×144−17283=864−576=288F(12) = 6 \times 12^2 - \dfrac{12^3}{3} = 6 \times 144 - \dfrac{1728}{3} = 864 - 576 = 288. Ensuite F(0)=6×02−033=0F(0) = 6 \times 0^2 - \dfrac{0^3}{3} = 0. Donc N=288−0=288N = 288 - 0 = 288 paires. Le résultat est positif, ce qui est cohérent pour un nombre de paires vendues.

  4. 4. Calculer le rythme moyen de ventes

    La valeur moyenne du rythme sur [0 ;12][0\,;12] est vmoy=112−0∫012v(t) dt=112×N=112×288=24v_{\text{moy}} = \dfrac{1}{12 - 0}\displaystyle\int_0^{12} v(t)\,dt = \dfrac{1}{12} \times N = \dfrac{1}{12} \times 288 = 24 paires par jour. C'est le rythme constant qui aurait donné le même total de 288288 paires sur les 1212 jours. On vérifie : le rythme passe par un maximum à t=6t = 6 avec v(6)=72−36=36v(6) = 72 - 36 = 36 paires/jour, et vaut 00 aux deux bords ; une moyenne de 2424 paires/jour est cohérente. La boutique vend 288288 paires au total, soit un rythme moyen de 2424 paires par jour.
Réponse finale
N=[6t2−t33]012=288 pairesetvmoy=28812=24 paires/jourN = \left[6t^2 - \dfrac{t^3}{3}\right]_0^{12} = 288 \ \text{paires} \quad \text{et} \quad v_{\text{moy}} = \dfrac{288}{12} = 24 \ \text{paires/jour}
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