Terminale STI2D
Coût d'une pièce imprimée en 3D : dériver une puissance de u
Énoncé
Dans un atelier de fabrication additive, le coût de revient d'une pièce imprimée en 3D, en euros, est modélisé en fonction de l'épaisseur de paroi (en millimètres) par , pour . Calculer la dérivée à l'aide de la dérivée d'une puissance composée, déterminer son signe sur , puis calculer le coût et la vitesse de variation du coût pour une paroi de mm.
Besoin d'un coup de pouce ?
- est une puissance composée : l'intérieur est et l'exposant est . Calcule d'abord .
- La dérivée de est : ici , donc l'exposant retombe à et un facteur apparaît, multiplié par .
Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.
Voir le corrigé détaillé
-
1. Reconnaître la fonction composée
La fonction est une puissance composée : l'intérieur est , donc , et l'exposant est . -
2. Appliquer la formule de u puissance n
La dérivée de est . On remplace avec , et : -
3. Étudier le signe de la dérivée
Sur , on a , donc . Comme le facteur est positif, le produit est strictement positif : le coût est strictement croissant, le coût augmente bien avec l'épaisseur de paroi. -
4. Calculer le coût pour une paroi de 1 mm
On remplace dans : euros. -
5. Calculer la vitesse de variation en x = 1
On remplace dans : Ce nombre signifie qu'au voisinage de mm, le coût augmente d'environ euros par millimètre supplémentaire d'épaisseur. On a (coût croissant), avec euros et .
Réponse finale
Ta progression