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Rêves Vision
Terminale STI2D

Dériver un logarithme et donner son signe

Énoncé

Soit la fonction gg définie par g(x)=ln⁡(2x+1)g(x) = \ln(2x + 1). Donner l'ensemble de définition de gg, calculer sa dérivée g′(x)g'(x), puis déterminer le signe de g′g' et le sens de variation de gg.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. Déterminer l'ensemble de définition

    Le logarithme népérien n'est défini que pour un nombre strictement positif. Il faut donc 2x+1>02x + 1 > 0, c'est-à-dire 2x>−12x > -1, soit x>−12x > -\dfrac{1}{2}. Donc gg est définie sur ]−12 ; +∞[\left]-\dfrac{1}{2}\,;\,+\infty\right[.

  2. 2. Reconnaître la fonction composée

    La fonction g(x)=ln⁡(2x+1)g(x) = \ln(2x + 1) est un logarithme composé : l'intérieur est u(x)=2x+1u(x) = 2x + 1, donc u′(x)=2u'(x) = 2.

  3. 3. Appliquer la formule du logarithme de u

    La dérivée de ln⁡(u)\ln(u) est u′u\dfrac{u'}{u}. On remplace : g′(x)=u′u=22x+1.g'(x) = \dfrac{u'}{u} = \dfrac{2}{2x + 1}. Attention à conserver le 22 au numérateur (c'est u′u') : la dérivée n'est pas 12x+1\dfrac{1}{2x+1}.

  4. 4. Étudier le signe et conclure

    Sur l'ensemble de définition, 2x+1>02x + 1 > 0, et 2>02 > 0, donc le quotient g′(x)=22x+1g'(x) = \dfrac{2}{2x + 1} est strictement positif. La fonction gg est donc strictement croissante sur ]−12 ; +∞[\left]-\dfrac{1}{2}\,;\,+\infty\right[. On a g′(x)=22x+1>0g'(x) = \dfrac{2}{2x+1} > 0, donc gg est croissante sur son ensemble de définition.
Réponse finale
g′(x)=22x+1>0 sur ]−12 ; +∞[⇒g est croissanteg'(x) = \dfrac{2}{2x + 1} > 0 \text{ sur } \left]-\dfrac{1}{2}\,;\,+\infty\right[ \quad \Rightarrow \quad g \text{ est croissante}
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