Aller au contenu
Rêves Vision
Terminale STI2D

Dériver un signal amorti

Énoncé

L'amplitude d'un signal amorti, en volts, est modélisée par f(t)=e−2tf(t) = e^{-2t}, où tt est le temps (en millisecondes), avec t≥0t \geq 0. Calculer la dérivée f′(t)f'(t), puis en déduire le sens de variation de ff.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Reconnaître la fonction composée

    La fonction f(t)=e−2tf(t) = e^{-2t} est une exponentielle composée : l'exponentielle est appliquée à la fonction intérieure u(t)=−2tu(t) = -2t. Sa dérivée est la constante u′(t)=−2u'(t) = -2.

  2. 2. Appliquer la formule de l'exponentielle de u

    La dérivée de eue^{u} est u′ euu' \, e^{u}. On remplace : f′(t)=u′ eu=−2 e−2t.f'(t) = u' \, e^{u} = -2 \, e^{-2t}. Le facteur −2-2 est la dérivée de l'intérieur : il ne faut pas l'oublier.

  3. 3. Étudier le signe de la dérivée

    Pour tout tt, l'exponentielle vérifie e−2t>0e^{-2t} > 0. Comme −2<0-2 < 0, le produit f′(t)=−2 e−2tf'(t) = -2 \, e^{-2t} est strictement négatif sur [0 ; +∞[[0\,;\,+\infty[.

  4. 4. Conclure sur les variations

    Comme f′(t)<0f'(t) < 0 sur [0 ; +∞[[0\,;\,+\infty[, la fonction ff est strictement décroissante : l'amplitude du signal diminue au cours du temps, ce qui est bien le comportement d'un signal amorti. La dérivée vaut f′(t)=−2 e−2tf'(t) = -2\,e^{-2t}, et ff est décroissante sur [0 ; +∞[[0\,;\,+\infty[.
Réponse finale
f′(t)=−2 e−2t<0⇒f est deˊcroissante sur [0 ; +∞[f'(t) = -2\,e^{-2t} < 0 \quad \Rightarrow \quad f \text{ est décroissante sur } [0\,;\,+\infty[
Corrigé PDF soigné · Premium

Ta progression

Chapitre

Composition et dérivation ← Retour au cours

À suivre