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Rêves Vision
Terminale STI2D

Niveau sonore d'une enceinte : dériver un logarithme

Énoncé

Sur une enceinte connectée, le niveau sonore en décibels est modélisé en fonction de la puissance électrique xx (en watts) par N(x)=10 ln⁡(4x+1)N(x) = 10\,\ln(4x + 1), pour x≥0x \geq 0. Calculer la dérivée N′(x)N'(x), déterminer son signe, puis en déduire le sens de variation de NN. La question « le son augmente-t-il toujours quand on monte la puissance ? » se traduit par l'étude des variations.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. Reconnaître la fonction composée

    La fonction N(x)=10 ln⁡(4x+1)N(x) = 10\,\ln(4x + 1) est un logarithme composé multiplié par la constante 1010. L'intérieur est u(x)=4x+1u(x) = 4x + 1, donc u′(x)=4u'(x) = 4. Sur [0 ; +∞[[0\,;\,+\infty[, on a 4x+1≥1>04x + 1 \geq 1 > 0, donc le logarithme est bien défini.

  2. 2. Appliquer la formule du logarithme de u

    La dérivée de ln⁡(u)\ln(u) est u′u\dfrac{u'}{u}. La constante 1010 se conserve par dérivation, donc N′(x)=10×u′u=10×44x+1=404x+1.N'(x) = 10 \times \dfrac{u'}{u} = 10 \times \dfrac{4}{4x + 1} = \dfrac{40}{4x + 1}. Il ne faut pas oublier le facteur u′=4u' = 4 au numérateur.

  3. 3. Étudier le signe de la dérivée

    Le numérateur 4040 est strictement positif, et sur [0 ; +∞[[0\,;\,+\infty[ le dénominateur 4x+14x + 1 est lui aussi strictement positif. Donc le quotient N′(x)=404x+1N'(x) = \dfrac{40}{4x + 1} est strictement positif sur [0 ; +∞[[0\,;\,+\infty[.

  4. 4. Conclure sur les variations

    Comme N′(x)>0N'(x) > 0 sur [0 ; +∞[[0\,;\,+\infty[, la fonction NN est strictement croissante : le niveau sonore augmente bien quand la puissance augmente, ce qui est cohérent physiquement (l'augmentation devient toutefois de plus en plus lente, car N′N' diminue). On a N′(x)=404x+1>0N'(x) = \dfrac{40}{4x + 1} > 0, donc NN est croissante sur [0 ; +∞[[0\,;\,+\infty[.
Réponse finale
N′(x)=404x+1>0 sur [0 ; +∞[⇒N est croissanteN'(x) = \dfrac{40}{4x + 1} > 0 \text{ sur } [0\,;\,+\infty[ \quad \Rightarrow \quad N \text{ est croissante}
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