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Étude complète de la puissance instantanée d'un circuit

Énoncé

Lors de la charge d'un circuit, la puissance instantanée reçue par un composant, en watts, est modélisée par p(t)=100(e−t−e−2t)p(t) = 100\left(e^{-t} - e^{-2t}\right), où tt est le temps (en millisecondes), avec t≥0t \geq 0. Étudier les variations de pp sur [0 ; +∞[[0\,;\,+\infty[, puis déterminer l'instant où la puissance est maximale et la valeur de ce maximum.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Dérive chaque terme séparément : e−te^{-t} et e−2te^{-2t} sont deux exponentielles composées. Pense au facteur u′u' : la dérivée de e−2te^{-2t} fait apparaître un −2-2.
  2. Pour étudier le signe de p′(t)p'(t), mets en facteur e−2te^{-2t} (qui est toujours strictement positif) : le signe ne dépendra plus que de l'autre facteur.
  3. Tu arrives à p′(t)=100 e−2t(2−et)p'(t) = 100\,e^{-2t}\left(2 - e^{t}\right). Résous 2−et=02 - e^{t} = 0 : cela donne et=2e^{t} = 2, donc t=ln⁡2t = \ln 2. Calcule ensuite p(ln⁡2)p(\ln 2) en utilisant e−ln⁡2=12e^{-\ln 2} = \dfrac{1}{2}.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. Calculer la dérivée terme par terme

    On dérive chaque exponentielle composée. Pour e−te^{-t} : l'intérieur est −t-t, donc (e−t)′=−e−t\big(e^{-t}\big)' = -e^{-t}. Pour e−2te^{-2t} : l'intérieur est −2t-2t, donc (e−2t)′=−2 e−2t\big(e^{-2t}\big)' = -2\,e^{-2t}. Ainsi : p′(t)=100(−e−t−(−2 e−2t))=100(−e−t+2 e−2t).p'(t) = 100\left(-e^{-t} - (-2\,e^{-2t})\right) = 100\left(-e^{-t} + 2\,e^{-2t}\right).

  2. 2. Factoriser la dérivée

    Pour étudier le signe, on met en facteur e−2te^{-2t}, qui est toujours strictement positif. Comme e−t=e−2t×ete^{-t} = e^{-2t} \times e^{t}, on obtient : p′(t)=100 e−2t(2−et).p'(t) = 100\,e^{-2t}\left(2 - e^{t}\right).

  3. 3. Étudier le signe de la dérivée

    Le facteur 100 e−2t100\,e^{-2t} est strictement positif, donc le signe de p′(t)p'(t) est celui de 2−et2 - e^{t}. Or 2−et>0  ⟺  et<2  ⟺  t<ln⁡22 - e^{t} > 0 \iff e^{t} < 2 \iff t < \ln 2. Donc p′(t)>0p'(t) > 0 sur [0 ; ln⁡2[[0\,;\,\ln 2[ et p′(t)<0p'(t) < 0 sur ]ln⁡2 ; +∞[]\ln 2\,;\,+\infty[, et p′(t)=0p'(t) = 0 pour t=ln⁡2t = \ln 2.

  4. 4. Dresser le tableau de variations

    D'après le signe de p′p' : la fonction pp est croissante sur [0 ; ln⁡2][0\,;\,\ln 2] puis décroissante sur [ln⁡2 ; +∞[[\ln 2\,;\,+\infty[. La dérivée s'annule en changeant de signe (de ++ à −-) en t=ln⁡2t = \ln 2 : la puissance admet donc un maximum en t=ln⁡2≈0,69t = \ln 2 \approx 0{,}69 ms.

  5. 5. Calculer la puissance maximale

    On calcule p(ln⁡2)p(\ln 2). Comme e−ln⁡2=12e^{-\ln 2} = \dfrac{1}{2} et e−2ln⁡2=(e−ln⁡2)2=(12)2=14e^{-2\ln 2} = \left(e^{-\ln 2}\right)^{2} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{2} = \dfrac{1}{4}, on obtient : p(ln⁡2)=100(12−14)=100×14=25p(\ln 2) = 100\left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4}\right) = 100 \times \dfrac{1}{4} = 25 W.

  6. 6. Conclure

    La puissance instantanée est maximale à l'instant t=ln⁡2≈0,69t = \ln 2 \approx 0{,}69 ms, et vaut alors 2525 W. Cette valeur est positive et cohérente avec un pic de puissance lors de la charge. La puissance croît jusqu'à t=ln⁡2t = \ln 2 puis décroît : le maximum vaut p(ln⁡2)=25p(\ln 2) = 25 W.
Réponse finale
p′(t)=100 e−2t(2−et)=0  ⟺  t=ln⁡2 ms;pmax⁡=p(ln⁡2)=25 Wp'(t) = 100\,e^{-2t}\left(2 - e^{t}\right) = 0 \iff t = \ln 2 \ \text{ms} \quad ; \quad p_{\max} = p(\ln 2) = 25 \ \text{W}
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