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Terminale STI2D Bonus premium

Étude complète de la puissance instantanée d'un circuit

Énoncé

Lors de la charge d'un circuit, la puissance instantanée reçue par un composant, en watts, est modélisée par p(t)=100(e−t−e−2t)p(t) = 100\left(e^{-t} - e^{-2t}\right), où tt est le temps (en millisecondes), avec t≥0t \geq 0. Étudier les variations de pp sur [0 ; +∞[[0\,;\,+\infty[, puis déterminer l'instant où la puissance est maximale et la valeur de ce maximum.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Dérive chaque terme séparément : e−te^{-t} et e−2te^{-2t} sont deux exponentielles composées. Pense au facteur u′u' : la dérivée de e−2te^{-2t} fait apparaître un −2-2.
  2. Pour étudier le signe de p′(t)p'(t), mets en facteur e−2te^{-2t} (qui est toujours strictement positif) : le signe ne dépendra plus que de l'autre facteur.
  3. Tu arrives à p′(t)=100 e−2t(2−et)p'(t) = 100\,e^{-2t}\left(2 - e^{t}\right). Résous 2−et=02 - e^{t} = 0 : cela donne et=2e^{t} = 2, donc t=ln⁡2t = \ln 2. Calcule ensuite p(ln⁡2)p(\ln 2) en utilisant e−ln⁡2=12e^{-\ln 2} = \dfrac{1}{2}.
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Chapitre

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