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Rêves Vision
Terminale STI2D

Puissance qui décroît : variations et tangente au démarrage

Énoncé

Après ouverture d'un interrupteur, la puissance dissipée par une résistance, en watts, est modélisée par P(t)=5 e−t2P(t) = 5\,e^{-\frac{t}{2}}, où tt est le temps (en secondes), avec t≥0t \geq 0. Déterminer le sens de variation de PP, puis donner l'équation de la tangente à la courbe de PP au point d'abscisse t=0t = 0.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. P(t)=5 e−t2P(t) = 5\,e^{-\frac{t}{2}} est une exponentielle composée : l'intérieur est u(t)=−t2u(t) = -\dfrac{t}{2}, dont la dérivée est la constante u′=−12u' = -\dfrac{1}{2}.
  2. Pour l'équation de la tangente en t=0t = 0, utilise la formule y=P′(0) (t−0)+P(0)y = P'(0)\,(t - 0) + P(0) : tu n'as besoin que des deux nombres P(0)P(0) et P′(0)P'(0).
  3. Rappelle-toi que e0=1e^{0} = 1 : cela donne directement P(0)=5P(0) = 5 et P′(0)=−52P'(0) = -\dfrac{5}{2}.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Calculer la dérivée

    La fonction P(t)=5 e−t2P(t) = 5\,e^{-\frac{t}{2}} est une exponentielle composée avec u(t)=−t2u(t) = -\dfrac{t}{2}, donc u′(t)=−12u'(t) = -\dfrac{1}{2}. La dérivée de eue^{u} est u′ euu'\,e^{u}, donc : P′(t)=5×(−12)e−t2=−52 e−t2.P'(t) = 5 \times \left(-\dfrac{1}{2}\right) e^{-\frac{t}{2}} = -\dfrac{5}{2}\,e^{-\frac{t}{2}}.

  2. 2. Étudier le sens de variation

    Pour tout tt, e−t2>0e^{-\frac{t}{2}} > 0, et −52<0-\dfrac{5}{2} < 0, donc P′(t)<0P'(t) < 0 sur [0 ; +∞[[0\,;\,+\infty[. La fonction PP est donc strictement décroissante : la puissance dissipée diminue après l'ouverture de l'interrupteur.

  3. 3. Calculer les deux nombres de la tangente

    La tangente en t=0t = 0 a pour équation y=P′(0) (t−0)+P(0)y = P'(0)\,(t - 0) + P(0). On calcule P(0)=5 e0=5×1=5P(0) = 5\,e^{0} = 5 \times 1 = 5 W (la puissance de départ) et P′(0)=−52 e0=−52=−2,5P'(0) = -\dfrac{5}{2}\,e^{0} = -\dfrac{5}{2} = -2{,}5 (la pente initiale).

  4. 4. Écrire l'équation de la tangente

    On remplace : y=−52 (t−0)+5y = -\dfrac{5}{2}\,(t - 0) + 5, c'est-à-dire y=−52 t+5y = -\dfrac{5}{2}\,t + 5. La pente est négative, ce qui confirme la décroissance, et l'ordonnée à l'origine 55 correspond bien à la puissance de départ. La fonction PP est décroissante, et la tangente en t=0t = 0 a pour équation y=−52 t+5y = -\dfrac{5}{2}\,t + 5.
Réponse finale
P′(t)=−52 e−t2<0 (P deˊcroissante);tangente en 0: y=−52 t+5P'(t) = -\dfrac{5}{2}\,e^{-\frac{t}{2}} < 0 \ (P \text{ décroissante}) \quad ; \quad \text{tangente en } 0 : \ y = -\dfrac{5}{2}\,t + 5
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