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Terminale STI2D

Température d'un processeur : étude complète et maximum

Énoncé

Lors d'un test de charge, la température d'un processeur, en degrés Celsius, est modélisée par T(t)=30+50 t e−tT(t) = 30 + 50\,t\,e^{-t}, où tt est le temps écoulé depuis le début du test (en minutes), avec t≥0t \geq 0. Étudier les variations de TT sur [0 ; +∞[[0\,;\,+\infty[, déterminer l'instant où la température est maximale et la valeur de ce maximum (arrondie au dixième de degré). On rappelle que e≈2,718e \approx 2{,}718.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Le terme 50 t e−t50\,t\,e^{-t} est un produit de 50 t50\,t par l'exponentielle composée e−te^{-t}. Utilise la dérivée d'un produit (uv)′=u′v+uv′(uv)' = u'v + uv', sans oublier que la dérivée de e−te^{-t} est −e−t-e^{-t}.
  2. Après dérivation, mets 50 e−t50\,e^{-t} en facteur (toujours strictement positif) : le signe de T′(t)T'(t) ne dépendra plus que d'un facteur du premier degré.
  3. Tu arrives à T′(t)=50 e−t(1−t)T'(t) = 50\,e^{-t}(1 - t). Le maximum est en t=1t = 1 : calcule T(1)=30+50 e−1=30+50eT(1) = 30 + 50\,e^{-1} = 30 + \dfrac{50}{e}, puis arrondis au dixième.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Calculer la dérivée avec la règle du produit

    La dérivée de la constante 3030 est nulle. Le terme 50 t e−t50\,t\,e^{-t} est un produit : on pose a(t)=50 ta(t) = 50\,t et b(t)=e−tb(t) = e^{-t}, donc a′(t)=50a'(t) = 50 et b′(t)=−e−tb'(t) = -e^{-t} (exponentielle composée d'intérieur −t-t). D'après la formule (ab)′=a′b+ab′(ab)' = a'b + ab' : T′(t)=50×e−t+50 t×(−e−t)=50 e−t−50 t e−t.T'(t) = 50 \times e^{-t} + 50\,t \times (-e^{-t}) = 50\,e^{-t} - 50\,t\,e^{-t}.

  2. 2. Factoriser la dérivée

    On met en facteur 50 e−t50\,e^{-t}, qui est commun aux deux termes et toujours strictement positif : T′(t)=50 e−t (1−t).T'(t) = 50\,e^{-t}\,(1 - t).

  3. 3. Étudier le signe de la dérivée

    Le facteur 50 e−t50\,e^{-t} est strictement positif pour tout tt, donc le signe de T′(t)T'(t) est celui de 1−t1 - t. Or 1−t>0  ⟺  t<11 - t > 0 \iff t < 1. Donc T′(t)>0T'(t) > 0 sur [0 ; 1[[0\,;\,1[ et T′(t)<0T'(t) < 0 sur ]1 ; +∞[]1\,;\,+\infty[, et T′(t)=0T'(t) = 0 pour t=1t = 1.

  4. 4. Dresser le tableau de variations

    D'après le signe de T′T' : la fonction TT est croissante sur [0 ; 1][0\,;\,1] puis décroissante sur [1 ; +∞[[1\,;\,+\infty[. La dérivée s'annule en changeant de signe (de ++ à −-) en t=1t = 1 : la température admet donc un maximum à l'instant t=1t = 1 minute.

  5. 5. Calculer la température maximale

    On calcule T(1)=30+50×1×e−1=30+50e.T(1) = 30 + 50 \times 1 \times e^{-1} = 30 + \dfrac{50}{e}. Avec e≈2,718e \approx 2{,}718, on a 50e≈502,718≈18,4\dfrac{50}{e} \approx \dfrac{50}{2{,}718} \approx 18{,}4, donc T(1)≈30+18,4≈48,4T(1) \approx 30 + 18{,}4 \approx 48{,}4 °C.

  6. 6. Conclure

    La température du processeur est maximale à l'instant t=1t = 1 minute et vaut environ 48,448{,}4 °C ; au-delà, elle redescend vers 3030 °C (la température de repos). Cette valeur est positive et cohérente avec un échauffement temporaire. La température croît jusqu'à t=1t = 1 min puis décroît : le maximum vaut T(1)=30+50e≈48,4T(1) = 30 + \dfrac{50}{e} \approx 48{,}4 °C.
Réponse finale
T′(t)=50 e−t (1−t)=0  ⟺  t=1 min;Tmax⁡=T(1)=30+50e≈48,4 °CT'(t) = 50\,e^{-t}\,(1 - t) = 0 \iff t = 1 \ \text{min} \quad ; \quad T_{\max} = T(1) = 30 + \dfrac{50}{e} \approx 48{,}4 \ \text{°C}
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