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Rêves Vision
Terminale STI2D

Croissance du nombre d'abonnés d'une chaîne

Énoncé

Une chaîne de streaming vidéo grandit régulièrement. On modélise le nombre d'abonnés N(t)N(t) (tt en jours) par l'équation différentielle N′(t)=0,05 N(t)N'(t) = 0{,}05\,N(t). Au jour t=0t = 0, la chaîne compte N(0)=2000N(0) = 2000 abonnés. Déterminer l'expression de N(t)N(t), puis estimer le nombre d'abonnés au bout de 20 jours (on arrondira à l'unité).

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Écrire la solution générale

    L'équation est de la forme y′=a yy' = a\,y avec a=0,05a = 0{,}05. D'après le cours, ses solutions sont toutes les fonctions N(t)=K e0,05 tN(t) = K\,e^{0{,}05\,t}, où KK est une constante réelle à déterminer.

  2. 2. Utiliser la condition initiale

    On remplace tt par 00 : N(0)=K e0,05×0=K e0N(0) = K\,e^{0{,}05 \times 0} = K\,e^{0}. Comme e0=1e^{0} = 1, on obtient N(0)=KN(0) = K. Or la condition initiale donne N(0)=2000N(0) = 2000, donc K=2000K = 2000.

  3. 3. Écrire l'expression du nombre d'abonnés

    On remplace KK par 20002000 dans la solution générale. Le nombre d'abonnés est N(t)=2000 e0,05 tN(t) = 2000\,e^{0{,}05\,t}. Comme a=0,05>0a = 0{,}05 > 0, la croissance est exponentielle.

  4. 4. Estimer le nombre d'abonnés après 20 jours

    On remplace tt par 2020 : N(20)=2000 e0,05×20=2000 e1N(20) = 2000\,e^{0{,}05 \times 20} = 2000\,e^{1}. D'après la calculatrice, e1≈2,718e^{1} \approx 2{,}718, donc N(20)≈2000×2,718≈5436,56N(20) \approx 2000 \times 2{,}718 \approx 5436{,}56. Après 20 jours, la chaîne compte environ 54375437 abonnés.
Réponse finale
N(t)=2000 e0,05 tetN(20)≈5437 abonneˊsN(t) = 2000\,e^{0{,}05\,t} \quad \text{et} \quad N(20) \approx 5437 \ \text{abonnés}
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