Terminale STI2D · Chapitre 7

Équations différentielles

Cours de Terminale STI2D sur les équations différentielles y prime egale a y et y prime egale a y plus b : solution generale, condition initiale, charge RC et refroidissement. Exercices corriges.

8 exercices corrigés · Terminale STI2D - mathématiques · Mis à jour en juin 2026

Comment un condensateur se charge-t-il dans un circuit, à quelle vitesse une pièce métallique refroidit-elle, comment un signal s’atténue-t-il le long d’une ligne ? Tous ces phénomènes ont un point commun : la vitesse de variation d’une grandeur dépend de la valeur de cette grandeur à chaque instant. C’est exactement ce qu’exprime une équation différentielle. En Terminale STI2D, on apprend à résoudre les deux modèles de base, $y' = a\,y$ et $y' = a\,y + b$ , qui suffisent à décrire une grande partie des systèmes industriels.

Ce que tu dois savoir faire

À la fin de ce chapitre, tu sais :

reconnaître une équation différentielle de la forme $y' = a\,y$ ou $y' = a\,y + b$ ;
vérifier qu’une fonction donnée est solution d’une équation différentielle ;
écrire la solution générale de chacun de ces deux modèles ;
utiliser une condition initiale (souvent $y(0)$ ) pour déterminer la constante ;
modéliser une situation concrète (charge d’un condensateur RC, refroidissement, croissance) par une équation différentielle et l’interpréter (régime permanent, régime transitoire).

À quoi ça sert ?

Imagine que tu branches un condensateur à une pile à travers une résistance. Au début il se remplit vite, puis de plus en plus lentement, jusqu’à se stabiliser. Tu ne peux pas décrire ça avec une simple fonction « toute prête » : ce qui est connu, c’est la règle d’évolution (plus le condensateur est chargé, moins il se charge vite). Une équation différentielle, c’est précisément cette règle écrite en langage mathématique. La résoudre, c’est retrouver la fonction qui donne la tension à chaque seconde. Même histoire pour un café qui refroidit, un amortisseur qui se détend ou une population de bactéries qui se multiplie.

1. Qu’est-ce qu’une équation différentielle ?

Équation différentielle et solution

Une équation différentielle est une équation dont l’inconnue est une fonction $y$ (de la variable $t$ ), et qui fait intervenir cette fonction et sa dérivée $y'$ .

Une solution est une fonction $y$ qui, une fois remplacée dans l’équation (elle et sa dérivée), rend l’égalité vraie pour toutes les valeurs de $t$ .

Vérifier qu'une fonction est solution

Montrons que la fonction $y(t) = 4\,e^{2t}$ est solution de l’équation différentielle $y' = 2\,y$ .

On calcule la dérivée : $y'(t) = 4 \times 2\,e^{2t} = 8\,e^{2t}$ .

On calcule l’autre membre : $2\,y(t) = 2 \times 4\,e^{2t} = 8\,e^{2t}$ .

Les deux membres sont égaux pour tout $t$ , donc $y(t) = 4\,e^{2t}$ est bien solution de $y' = 2\,y$ .

2. L’équation $y' = a\,y$

Solutions de l'équation $y' = a\,y$

Soit $a$ un nombre réel. Les solutions de l’équation différentielle $y' = a\,y$ sont toutes les fonctions de la forme $y(t) = K\,e^{a t}, \quad \text{où } K \text{ est une constante réelle.}$ Il y a donc une infinité de solutions, une pour chaque valeur de $K$ .

Pourquoi l’exponentielle ? Parce que c’est la seule fonction dont la dérivée est proportionnelle à elle-même : si $y(t) = K\,e^{a t}$ , alors $y'(t) = a\,K\,e^{a t} = a\,y(t)$ . La constante $a$ pilote l’allure : si $a > 0$ , la grandeur croît sans limite (croissance exponentielle) ; si $a < 0$ , elle décroît vers $0$ (atténuation, décharge).

Résoudre $y' = a\,y$ avec une condition initiale

On cherche la solution qui vérifie une condition du type $y(0) = y_0$ (la valeur de départ).

Écrire la solution générale : $y(t) = K\,e^{a t}$ .
Remplacer $t$ par la valeur donnée (souvent $t = 0$ ) et utiliser la condition initiale.
Comme $e^{0} = 1$ , on obtient $y(0) = K$ , donc $K = y_0$ .
Écrire la solution finale en remplaçant $K$ par sa valeur.

Exemple : résoudre $y' = 2\,y$ avec $y(0) = 4$ . La solution générale est $y(t) = K\,e^{2t}$ . Or $y(0) = K\,e^{0} = K$ , et la condition donne $y(0) = 4$ , donc $K = 4$ . La solution est $y(t) = 4\,e^{2t}$ .

3. L’équation $y' = a\,y + b$

C’est le modèle le plus utile en STI2D : il décrit un système qui évolue vers une valeur d’équilibre (la tension finale d’un condensateur, la température ambiante, la vitesse limite…).

Solutions de l'équation $y' = a\,y + b$

Soient $a$ et $b$ deux réels avec $a \neq 0$ . Les solutions de $y' = a\,y + b$ sont les fonctions de la forme $y(t) = K\,e^{a t} - \frac{b}{a}, \quad K \in \mathbb{R}.$

La constante $-\dfrac{b}{a}$ est la solution constante (ou solution particulière) : c’est la valeur vers laquelle le système se stabilise.

Le réflexe : chercher l'équilibre d'abord

La valeur $-\dfrac{b}{a}$ s’obtient sans calcul savant : c’est la grandeur pour laquelle plus rien ne bouge, donc pour laquelle $y' = 0$ . On pose $0 = a\,y + b$ , ce qui donne $y = -\dfrac{b}{a}$ . Une fois cette valeur d’équilibre $L = -\dfrac{b}{a}$ trouvée, la solution s’écrit toujours : $y(t) = L + K\,e^{a t}.$ Tu n’as plus qu’à trouver $K$ avec la condition initiale.

Régime permanent et régime transitoire

On écrit la solution sous la forme $y(t) = \underbrace{\left(-\dfrac{b}{a}\right)}_{\text{régime permanent}} + \underbrace{K\,e^{a t}}_{\text{régime transitoire}}$ .

Le régime permanent $-\dfrac{b}{a}$ est la valeur finale, atteinte quand le temps devient grand.
Le régime transitoire $K\,e^{a t}$ décrit la mise en route. Lorsque $a < 0$ , ce terme tend vers $0$ : il s’efface avec le temps, et il ne reste que le régime permanent.

Résoudre $y' = a\,y + b$ avec une condition initiale

Identifier $a$ et $b$ dans l’équation.
Calculer la valeur d’équilibre $L = -\dfrac{b}{a}$ (régime permanent).
Écrire la solution générale : $y(t) = L + K\,e^{a t}$ .
Remplacer $t$ par $0$ : comme $e^{0} = 1$ , on a $y(0) = L + K$ , donc $K = y_0 - L$ .
Écrire la solution finale.

Exemple : résoudre $y' = -2\,y + 6$ avec $y(0) = 1$ . Équilibre : $L = -\dfrac{6}{-2} = 3$ . Solution générale : $y(t) = 3 + K\,e^{-2t}$ . Condition : $y(0) = 3 + K = 1$ , donc $K = -2$ . La solution est $y(t) = 3 - 2\,e^{-2t}$ . On vérifie : quand $t$ grandit, $e^{-2t} \to 0$ et $y(t) \to 3$ , la valeur d’équilibre attendue.

4. Trois modèles industriels classiques

Charge d'un condensateur (circuit RC)

On charge un condensateur de capacité $C$ à travers une résistance $R$ , sous une tension d’alimentation $E$ . La tension $u(t)$ aux bornes du condensateur vérifie : $u'(t) = -\frac{1}{RC}\,u(t) + \frac{E}{RC}.$ C’est une équation $y' = a\,y + b$ avec $a = -\dfrac{1}{RC}$ et $b = \dfrac{E}{RC}$ .

Régime permanent : $-\dfrac{b}{a} = E$ (le condensateur finit chargé à la tension d’alimentation).
Avec un condensateur déchargé au départ, $u(0) = 0$ , la solution est : $u(t) = E\left(1 - e^{-t/(RC)}\right).$

Le produit $RC$ (en secondes) s’appelle la constante de temps, notée $\tau$ : au bout d’une durée $\tau$ , le condensateur est chargé à environ $63\,\%$ de $E$ .

Refroidissement (loi de Newton)

Un objet à la température $\theta(t)$ placé dans un milieu à température $\theta_{amb}$ se refroidit selon : $\theta'(t) = -k\big(\theta(t) - \theta_{amb}\big), \quad k > 0.$ En développant : $\theta' = -k\,\theta + k\,\theta_{amb}$ , soit $y' = a\,y + b$ avec $a = -k$ et $b = k\,\theta_{amb}$ .

Régime permanent : $-\dfrac{b}{a} = \theta_{amb}$ (l’objet finit à la température ambiante).
En partant de $\theta(0) = \theta_0$ , la solution est : $\theta(t) = \theta_{amb} + (\theta_0 - \theta_{amb})\,e^{-k t}.$

Croissance d'une population de bactéries

Tant que les ressources ne manquent pas, une population $N(t)$ croît proportionnellement à elle-même : $N'(t) = a\,N(t), \quad a > 0.$ C’est le modèle $y' = a\,y$ : la solution est $N(t) = N_0\,e^{a t}$ , où $N_0 = N(0)$ est la population initiale. Comme $a > 0$ , la croissance est exponentielle.

5. Le piège à éviter

Ne pas confondre les deux modèles

Pour l’équation $y' = a\,y + b$ (avec $b \neq 0$ ), une erreur fréquente est d’écrire directement la solution comme s’il n’y avait pas de $b$ :

FAUX : « la solution de $y' = -2\,y + 6$ est $y(t) = K\,e^{-2t}$ » (on a oublié le terme constant : cette fonction tend vers $0$ , alors que le système doit se stabiliser à $3$ ).
VRAI : il faut d’abord trouver l’équilibre $L = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{6}{-2} = 3$ , puis écrire $y(t) = 3 + K\,e^{-2t}$ .

Autrement dit : le modèle $y' = a\,y$ tend vers $0$ , mais le modèle $y' = a\,y + b$ tend vers $-\dfrac{b}{a}$ . Oublier le $b$ , c’est oublier vers quelle valeur le système se stabilise.

L'erreur sur la condition initiale

Avec la forme $y(t) = K\,e^{a t} - \dfrac{b}{a}$ :

FAUX : « $y(0) = K$ » (on a oublié le terme constant).
VRAI : comme $e^{0} = 1$ , on a $y(0) = K - \dfrac{b}{a}$ , donc $K = y_0 + \dfrac{b}{a} = y_0 - L$ .

La constante $K$ n’est pas la valeur initiale : c’est l’écart entre la valeur initiale et l’équilibre.

Comment vérifier ton résultat

Une fois la solution trouvée, fais deux contrôles rapides :

À $t = 0$ : remplace et vérifie que tu retrouves bien $y_0$ (la condition initiale).
Quand $t$ devient grand : si $a < 0$ , le terme exponentiel disparaît et il doit rester la valeur d’équilibre $-\dfrac{b}{a}$ (tension finale, température ambiante, vitesse limite). Si ce n’est pas le cas, il y a une erreur de signe quelque part.

Exercices corrigés

Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.

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Croissance du nombre d'abonnés d'une chaîne

Une chaîne de streaming vidéo grandit régulièrement. On modélise le nombre d'abonnés $N(t)$ ( $t$ en jours) par l'équation différentielle $N'(t) = 0{,}05\,N(t)$ . Au jour $t = 0$ , la chaîne compte $N(0) = 2000$ abonnés. Déterminer l'expression de $N(t)$ , puis estimer le nombre d'abonnés au bout de 20 jours (on arrondira à l'unité).

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Résoudre y prime egale 3 y avec une condition initiale

Résoudre l'équation différentielle $y' = 3\,y$ sachant que la fonction cherchée vérifie la condition initiale $y(0) = 5$ .

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Vérifier qu'une exponentielle est solution

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(t) = 7\,e^{5t}$ . Montrer que $f$ est solution de l'équation différentielle $y' = 5\,y$ .

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Charge d'un condensateur dans un circuit RC

Dans un circuit, on charge un condensateur de capacité $C = 470\,\mu\text{F}$ à travers une résistance $R = 1000\ \Omega$ , sous une tension d'alimentation $E = 5$ V. La tension $u(t)$ aux bornes du condensateur (en volts, $t$ en secondes) vérifie l'équation différentielle $u'(t) = -\dfrac{1}{RC}\,u(t) + \dfrac{E}{RC}$ . Au départ, le condensateur est déchargé : $u(0) = 0$ . Déterminer l'expression de $u(t)$ .

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Décharge d'un condensateur dans une résistance

Un condensateur chargé est branché aux bornes d'une résistance $R = 2000\ \Omega$ ; sa capacité vaut $C = 100\,\mu\text{F}$ . Il se décharge : la tension $u(t)$ à ses bornes (en volts, $t$ en secondes) vérifie $u'(t) = -\dfrac{1}{RC}\,u(t)$ . À l'instant initial, la tension vaut $u(0) = 12$ V. Déterminer l'expression de $u(t)$ , puis calculer la tension au bout d'une constante de temps (on arrondira au centième de volt).

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Refroidissement d'une pièce métallique (loi de Newton)

À la sortie d'un four, une pièce métallique est à la température $\theta_0 = 90$ °C. On la laisse refroidir dans un atelier maintenu à $\theta_{amb} = 20$ °C. D'après la loi de Newton, sa température $\theta(t)$ (en °C, $t$ en minutes) vérifie $\theta'(t) = -k\big(\theta(t) - 20\big)$ avec $k = 0{,}04$ min $^{-1}$ . Déterminer l'expression de $\theta(t)$ , puis calculer la température après 30 minutes (on arrondira au dixième de degré).

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Montée en température d'un plateau d'imprimante 3D

Avant d'imprimer, le plateau chauffant d'une imprimante 3D doit atteindre une température de consigne $\theta_c = 60$ °C. Partant de la température de l'atelier $\theta(0) = 20$ °C, sa température $\theta(t)$ (en °C, $t$ en minutes) vérifie l'équation différentielle $\theta'(t) = k\big(\theta_c - \theta(t)\big)$ avec $k = 0{,}1$ min $^{-1}$ . Déterminer l'expression de $\theta(t)$ , identifier le régime permanent, puis calculer la température au bout de 10 minutes (on arrondira au dixième de degré).

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Bonus

Vitesse d'un mobile avec frottements et vitesse limite

Un objet de masse $m = 80$ kg tombe dans l'air en partant sans vitesse. En tenant compte des frottements, sa vitesse $v(t)$ (en m/s, $t$ en secondes) vérifie l'équation différentielle $m\,v'(t) = m\,g - k\,v(t)$ , avec $g = 9{,}81$ m/s $^2$ et un coefficient de frottement $k = 20$ kg/s. Au départ, $v(0) = 0$ . Déterminer l'expression de $v(t)$ , puis en déduire la vitesse limite atteinte par l'objet. Calculer enfin la vitesse au bout de 10 secondes (arrondir au centième).

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Quiz : 6 questions auto-corrigées

Vérifie en quelques minutes que tu as compris ce chapitre. Correction expliquée, score et points à la clé.

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Questions fréquentes

Quelle est la solution de l'equation differentielle y prime egale a y ?

Les solutions de l'equation y prime egale a y sont toutes les fonctions de la forme y de t egale K fois exponentielle de a t, ou K est une constante reelle quelconque. Pour fixer la valeur de K, il faut une condition initiale, c'est-a-dire la valeur de y a un instant donne, le plus souvent y de 0.

Comment resoudre y prime egale a y plus b ?

On cherche d'abord la solution constante, appelee regime permanent : elle vaut moins b divise par a. La solution generale est alors cette constante moins b sur a, a laquelle on ajoute K fois exponentielle de a t. On determine ensuite K avec la condition initiale. Quand a est negatif, le terme exponentiel disparait avec le temps : c'est le regime transitoire.

A quoi servent les equations differentielles en STI2D ?

Elles decrivent les systemes qui evoluent dans le temps : charge ou decharge d'un condensateur dans un circuit RC, refroidissement d'un objet selon la loi de Newton, attenuation d'un signal, ou encore croissance d'une population. La derivee represente la vitesse de variation, et l'equation relie cette vitesse a l'etat du systeme a chaque instant.

1. Qu’est-ce qu’une équation différentielle ?

2. L’équation y′=a yy' = a\,yy′=ay

3. L’équation y′=a y+by' = a\,y + by′=ay+b

4. Trois modèles industriels classiques

5. Le piège à éviter

Exercices corrigés

Croissance du nombre d'abonnés d'une chaîne

Résoudre y prime egale 3 y avec une condition initiale

Vérifier qu'une exponentielle est solution

Charge d'un condensateur dans un circuit RC

Décharge d'un condensateur dans une résistance

Refroidissement d'une pièce métallique (loi de Newton)

Montée en température d'un plateau d'imprimante 3D

Vitesse d'un mobile avec frottements et vitesse limite

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1. Qu’est-ce qu’une équation différentielle ?

2. L’équation $y' = a\,y$

3. L’équation $y' = a\,y + b$