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Rêves Vision
Terminale STI2D

Vérifier qu'une exponentielle est solution

Énoncé

On considère la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(t)=7 e5tf(t) = 7\,e^{5t}. Montrer que ff est solution de l'équation différentielle y′=5 yy' = 5\,y.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Calculer la dérivée de la fonction

    La fonction ff est de la forme K eatK\,e^{at} avec K=7K = 7 et a=5a = 5. On dérive : f′(t)=7×5 e5tf'(t) = 7 \times 5\,e^{5t}, donc f′(t)=35 e5tf'(t) = 35\,e^{5t}.

  2. 2. Calculer le second membre de l'équation

    Le second membre de l'équation y′=5 yy' = 5\,y est 5 y5\,y. En remplaçant yy par f(t)f(t) : 5 f(t)=5×7 e5t=35 e5t5\,f(t) = 5 \times 7\,e^{5t} = 35\,e^{5t}.

  3. 3. Comparer les deux membres

    On a obtenu f′(t)=35 e5tf'(t) = 35\,e^{5t} et 5 f(t)=35 e5t5\,f(t) = 35\,e^{5t}. Les deux membres sont égaux pour tout réel tt, donc l'égalité f′(t)=5 f(t)f'(t) = 5\,f(t) est vraie partout.

  4. 4. Conclure

    Puisque f′(t)=5 f(t)f'(t) = 5\,f(t) pour tout tt, la fonction f(t)=7 e5tf(t) = 7\,e^{5t} est bien une solution de l'équation différentielle y′=5 yy' = 5\,y.
Réponse finale
f′(t)=35 e5t=5 f(t), donc f est solution de y′=5 yf'(t) = 35\,e^{5t} = 5\,f(t), \ \text{donc } f \text{ est solution de } y' = 5\,y
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