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Rêves Vision
Terminale STI2D

Charge d'un condensateur dans un circuit RC

Énoncé

Dans un circuit, on charge un condensateur de capacité C=470 μFC = 470\,\mu\text{F} à travers une résistance R=1000 ΩR = 1000\ \Omega, sous une tension d'alimentation E=5E = 5 V. La tension u(t)u(t) aux bornes du condensateur (en volts, tt en secondes) vérifie l'équation différentielle u′(t)=−1RC u(t)+ERCu'(t) = -\dfrac{1}{RC}\,u(t) + \dfrac{E}{RC}. Au départ, le condensateur est déchargé : u(0)=0u(0) = 0. Déterminer l'expression de u(t)u(t).
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. L'équation est de la forme y′=a y+by' = a\,y + b. Commence par calculer le produit RCRC : attention, 470 μF=470×10−6470\,\mu\text{F} = 470 \times 10^{-6} F.
  2. Cherche d'abord la valeur d'équilibre (le régime permanent) −ba-\dfrac{b}{a} : c'est la tension finale du condensateur. Tu devrais retrouver EE.
  3. Écris la solution sous la forme u(t)=−ba+K eatu(t) = -\dfrac{b}{a} + K\,e^{at}, puis utilise u(0)=0u(0) = 0 pour trouver KK.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Calculer la constante de temps

    On calcule le produit RCRC : RC=1000×470×10−6=0,47RC = 1000 \times 470 \times 10^{-6} = 0{,}47 s. Cette durée τ=RC=0,47\tau = RC = 0{,}47 s est la constante de temps du circuit.

  2. 2. Identifier les coefficients

    L'équation u′=−1RC u+ERCu' = -\dfrac{1}{RC}\,u + \dfrac{E}{RC} est de la forme y′=a y+by' = a\,y + b avec a=−1RC=−10,47≈−2,13a = -\dfrac{1}{RC} = -\dfrac{1}{0{,}47} \approx -2{,}13 et b=ERC=50,47b = \dfrac{E}{RC} = \dfrac{5}{0{,}47}.

  3. 3. Déterminer le régime permanent

    La valeur d'équilibre est −ba-\dfrac{b}{a}. En remplaçant : −ba=−ERC−1RC=E=5-\dfrac{b}{a} = -\dfrac{\frac{E}{RC}}{-\frac{1}{RC}} = E = 5 V. Le condensateur finit donc chargé à la tension d'alimentation E=5E = 5 V : c'est cohérent physiquement.

  4. 4. Écrire la solution générale

    D'après le cours, la solution s'écrit u(t)=−ba+K eatu(t) = -\dfrac{b}{a} + K\,e^{at}, soit ici u(t)=E+K e−t/(RC)=5+K e−t/0,47u(t) = E + K\,e^{-t/(RC)} = 5 + K\,e^{-t/0{,}47}, où KK reste à déterminer.

  5. 5. Utiliser la condition initiale

    Le condensateur est déchargé au départ : u(0)=0u(0) = 0. Or u(0)=5+K e0=5+Ku(0) = 5 + K\,e^{0} = 5 + K. On résout 5+K=05 + K = 0, donc K=−5K = -5.

  6. 6. Conclure

    On remplace KK par −5-5 : u(t)=5−5 e−t/0,47u(t) = 5 - 5\,e^{-t/0{,}47}, que l'on factorise. La tension aux bornes du condensateur est u(t)=5(1−e−t/0,47)u(t) = 5\left(1 - e^{-t/0{,}47}\right) volts. Au bout d'une constante de temps (t=0,47t = 0{,}47 s), elle vaut u(0,47)=5(1−e−1)≈3,16u(0{,}47) = 5(1 - e^{-1}) \approx 3{,}16 V, soit environ 63 %63\,\% de EE.
Réponse finale
u(t)=5(1−e−t/0,47) Vu(t) = 5\left(1 - e^{-t/0{,}47}\right) \ \text{V}
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