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Rêves Vision
Terminale STI2D

Décharge d'un condensateur dans une résistance

Énoncé

Un condensateur chargé est branché aux bornes d'une résistance R=2000 ΩR = 2000\ \Omega ; sa capacité vaut C=100 μFC = 100\,\mu\text{F}. Il se décharge : la tension u(t)u(t) à ses bornes (en volts, tt en secondes) vérifie u′(t)=−1RC u(t)u'(t) = -\dfrac{1}{RC}\,u(t). À l'instant initial, la tension vaut u(0)=12u(0) = 12 V. Déterminer l'expression de u(t)u(t), puis calculer la tension au bout d'une constante de temps (on arrondira au centième de volt).

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. Calculer la constante de temps

    On calcule le produit RCRC : RC=2000×100×10−6=0,2RC = 2000 \times 100 \times 10^{-6} = 0{,}2 s. Cette durée τ=RC=0,2\tau = RC = 0{,}2 s est la constante de temps du circuit.

  2. 2. Identifier le coefficient de l'équation

    L'équation u′(t)=−1RC u(t)u'(t) = -\dfrac{1}{RC}\,u(t) est de la forme y′=a yy' = a\,y avec a=−1RC=−10,2=−5a = -\dfrac{1}{RC} = -\dfrac{1}{0{,}2} = -5. Comme a<0a < 0, la tension va décroître vers 00 : c'est le régime transitoire d'une décharge.

  3. 3. Écrire la solution générale

    D'après le cours, les solutions de y′=a yy' = a\,y sont u(t)=K eatu(t) = K\,e^{a t}, soit ici u(t)=K e−5 tu(t) = K\,e^{-5\,t}, où KK est une constante à déterminer.

  4. 4. Utiliser la condition initiale

    On remplace tt par 00 : u(0)=K e−5×0=K e0=Ku(0) = K\,e^{-5 \times 0} = K\,e^{0} = K, car e0=1e^{0} = 1. Or la condition initiale donne u(0)=12u(0) = 12, donc K=12K = 12.

  5. 5. Écrire l'expression de la tension

    On remplace KK par 1212. La tension aux bornes du condensateur est u(t)=12 e−5 tu(t) = 12\,e^{-5\,t} volts. Vérification : quand tt devient grand, e−5 t→0e^{-5\,t} \to 0 et u(t)→0u(t) \to 0, le condensateur finit déchargé, ce qui est cohérent.

  6. 6. Calculer la tension après une constante de temps

    Une constante de temps correspond à t=τ=0,2t = \tau = 0{,}2 s. On remplace : u(0,2)=12 e−5×0,2=12 e−1u(0{,}2) = 12\,e^{-5 \times 0{,}2} = 12\,e^{-1}. Comme e−1≈0,368e^{-1} \approx 0{,}368, on obtient u(0,2)≈12×0,368≈4,41u(0{,}2) \approx 12 \times 0{,}368 \approx 4{,}41. Au bout d'une constante de temps, la tension vaut environ 4,414{,}41 V, soit environ 37 %37\,\% de la tension de départ.
Réponse finale
u(t)=12 e−5 t Vetu(0,2)≈4,41 Vu(t) = 12\,e^{-5\,t} \ \text{V} \quad \text{et} \quad u(0{,}2) \approx 4{,}41 \ \text{V}
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