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Rêves Vision
Terminale STI2D

Refroidissement d'une pièce métallique (loi de Newton)

Énoncé

À la sortie d'un four, une pièce métallique est à la température θ0=90\theta_0 = 90 °C. On la laisse refroidir dans un atelier maintenu à θamb=20\theta_{amb} = 20 °C. D'après la loi de Newton, sa température θ(t)\theta(t) (en °C, tt en minutes) vérifie θ′(t)=−k(θ(t)−20)\theta'(t) = -k\big(\theta(t) - 20\big) avec k=0,04k = 0{,}04 min−1^{-1}. Déterminer l'expression de θ(t)\theta(t), puis calculer la température après 30 minutes (on arrondira au dixième de degré).

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Mettre l'équation sous la forme du cours

    On développe le second membre : θ′(t)=−k θ(t)+k×20\theta'(t) = -k\,\theta(t) + k \times 20, soit θ′(t)=−0,04 θ(t)+0,8\theta'(t) = -0{,}04\,\theta(t) + 0{,}8. C'est une équation y′=a y+by' = a\,y + b avec a=−0,04a = -0{,}04 et b=0,8b = 0{,}8.

  2. 2. Déterminer le régime permanent

    La valeur d'équilibre est −ba=−0,8−0,04=20-\dfrac{b}{a} = -\dfrac{0{,}8}{-0{,}04} = 20 °C. C'est la température ambiante de l'atelier : l'objet finira par atteindre 2020 °C, ce qui est cohérent.

  3. 3. Écrire la solution générale

    D'après le cours, θ(t)=−ba+K eat\theta(t) = -\dfrac{b}{a} + K\,e^{at}, soit θ(t)=20+K e−0,04 t\theta(t) = 20 + K\,e^{-0{,}04\,t}, où KK est une constante à déterminer.

  4. 4. Utiliser la condition initiale

    À l'instant t=0t = 0, la pièce sort du four à 9090 °C : θ(0)=90\theta(0) = 90. Or θ(0)=20+K e0=20+K\theta(0) = 20 + K\,e^{0} = 20 + K. On résout 20+K=9020 + K = 90, donc K=70K = 70.

  5. 5. Écrire l'expression de la température

    On remplace KK par 7070 : la température de la pièce est θ(t)=20+70 e−0,04 t\theta(t) = 20 + 70\,e^{-0{,}04\,t} °C. On peut aussi l'écrire θ(t)=θamb+(θ0−θamb) e−kt\theta(t) = \theta_{amb} + (\theta_0 - \theta_{amb})\,e^{-k t}, la forme générale du refroidissement.

  6. 6. Calculer la température après 30 minutes

    On remplace tt par 3030 : θ(30)=20+70 e−0,04×30=20+70 e−1,2\theta(30) = 20 + 70\,e^{-0{,}04 \times 30} = 20 + 70\,e^{-1{,}2}. Comme e−1,2≈0,3012e^{-1{,}2} \approx 0{,}3012, on obtient θ(30)≈20+70×0,3012≈20+21,08\theta(30) \approx 20 + 70 \times 0{,}3012 \approx 20 + 21{,}08. Après 30 minutes, la pièce est à environ 41,141{,}1 °C.
Réponse finale
θ(t)=20+70 e−0,04 t °Cetθ(30)≈41,1 °C\theta(t) = 20 + 70\,e^{-0{,}04\,t} \ \text{°C} \quad \text{et} \quad \theta(30) \approx 41{,}1 \ \text{°C}
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