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Vitesse d'un mobile avec frottements et vitesse limite

Énoncé

Un objet de masse m=80m = 80 kg tombe dans l'air en partant sans vitesse. En tenant compte des frottements, sa vitesse v(t)v(t) (en m/s, tt en secondes) vérifie l'équation différentielle m v′(t)=m g−k v(t)m\,v'(t) = m\,g - k\,v(t), avec g=9,81g = 9{,}81 m/s2^2 et un coefficient de frottement k=20k = 20 kg/s. Au départ, v(0)=0v(0) = 0. Déterminer l'expression de v(t)v(t), puis en déduire la vitesse limite atteinte par l'objet. Calculer enfin la vitesse au bout de 10 secondes (arrondir au centième).
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  1. Divise toute l'équation par la masse mm pour faire apparaître la forme v′=a v+bv' = a\,v + b. Tu obtiendras v′(t)=−km v(t)+gv'(t) = -\dfrac{k}{m}\,v(t) + g.
  2. La vitesse limite est la valeur d'équilibre −ba-\dfrac{b}{a} : c'est aussi la vitesse pour laquelle v′(t)=0v'(t) = 0, c'est-à-dire quand l'objet n'accélère plus. Pose 0=m g−k v0 = m\,g - k\,v et isole vv.
  3. Écris v(t)=−ba+K eatv(t) = -\dfrac{b}{a} + K\,e^{at}, puis utilise v(0)=0v(0) = 0 : tu trouveras que KK est l'opposé de la vitesse limite.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Mettre l'équation sous la forme du cours

    On divise l'équation m v′=m g−k vm\,v' = m\,g - k\,v par mm : v′(t)=g−km v(t)v'(t) = g - \dfrac{k}{m}\,v(t), que l'on réécrit v′(t)=−km v(t)+gv'(t) = -\dfrac{k}{m}\,v(t) + g. C'est une équation y′=a y+by' = a\,y + b avec a=−km=−2080=−0,25a = -\dfrac{k}{m} = -\dfrac{20}{80} = -0{,}25 et b=g=9,81b = g = 9{,}81.

  2. 2. Déterminer la vitesse limite (régime permanent)

    La vitesse limite correspond au régime permanent, c'est-à-dire à la valeur d'équilibre −ba-\dfrac{b}{a}. On calcule : −ba=−9,81−0,25=9,810,25=39,24-\dfrac{b}{a} = -\dfrac{9{,}81}{-0{,}25} = \dfrac{9{,}81}{0{,}25} = 39{,}24. La vitesse limite est donc vlim=39,24v_{lim} = 39{,}24 m/s (soit environ 141141 km/h).

  3. 3. Écrire la solution générale

    D'après le cours, v(t)=−ba+K eatv(t) = -\dfrac{b}{a} + K\,e^{at}, soit v(t)=39,24+K e−0,25 tv(t) = 39{,}24 + K\,e^{-0{,}25\,t}, où KK est une constante à déterminer.

  4. 4. Utiliser la condition initiale

    L'objet part sans vitesse : v(0)=0v(0) = 0. Or v(0)=39,24+K e0=39,24+Kv(0) = 39{,}24 + K\,e^{0} = 39{,}24 + K. On résout 39,24+K=039{,}24 + K = 0, donc K=−39,24K = -39{,}24.

  5. 5. Écrire l'expression de la vitesse

    On remplace KK par −39,24-39{,}24 : v(t)=39,24−39,24 e−0,25 tv(t) = 39{,}24 - 39{,}24\,e^{-0{,}25\,t}, que l'on factorise. La vitesse est v(t)=39,24(1−e−0,25 t)v(t) = 39{,}24\left(1 - e^{-0{,}25\,t}\right) m/s. Vérification : quand tt devient grand, e−0,25 t→0e^{-0{,}25\,t} \to 0 et v(t)→39,24v(t) \to 39{,}24 m/s, la vitesse limite trouvée plus haut.

  6. 6. Calculer la vitesse après 10 secondes

    On remplace tt par 1010 : v(10)=39,24(1−e−0,25×10)=39,24(1−e−2,5)v(10) = 39{,}24\left(1 - e^{-0{,}25 \times 10}\right) = 39{,}24\left(1 - e^{-2{,}5}\right). Comme e−2,5≈0,0821e^{-2{,}5} \approx 0{,}0821, on obtient v(10)≈39,24×(1−0,0821)≈39,24×0,9179≈36,02v(10) \approx 39{,}24 \times (1 - 0{,}0821) \approx 39{,}24 \times 0{,}9179 \approx 36{,}02. Après 10 secondes, l'objet va à environ 36,0236{,}02 m/s, soit déjà près de 92 %92\,\% de sa vitesse limite.
Réponse finale
v(t)=39,24(1−e−0,25 t) m/s;vlim=39,24 m/s;v(10)≈36,02 m/sv(t) = 39{,}24\left(1 - e^{-0{,}25\,t}\right) \ \text{m/s} ; \quad v_{lim} = 39{,}24 \ \text{m/s} ; \quad v(10) \approx 36{,}02 \ \text{m/s}
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