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Rêves Vision
Terminale STI2D

Atténuation d'une onde dans un matériau

Énoncé

Une onde traverse un matériau absorbant. Son intensité, en unité arbitraire, est modélisée par I(x)=I0 e−μxI(x) = I_0\, e^{-\mu x}, où xx est l'épaisseur traversée en centimètres et μ=0,23\mu = 0{,}23 cm−1^{-1} le coefficient d'atténuation. On appelle épaisseur de demi-atténuation l'épaisseur xx pour laquelle l'intensité est divisée par deux. Déterminer cette épaisseur (arrondir au centième de centimètre). On rappelle que ln⁡2≈0,693\ln 2 \approx 0{,}693.
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  1. « Divisée par deux » signifie que I(x)I(x) vaut la moitié de I0I_0, c'est-à-dire I(x)=12I0I(x) = \frac{1}{2} I_0.
  2. Remplace dans le modèle, puis simplifie par I0I_0 : tu dois aboutir à l'équation e−μx=12e^{-\mu x} = \frac{1}{2}.
  3. L'exponentielle est strictement croissante, donc l'équation ea=12e^{a} = \frac{1}{2} a une seule solution, d'antécédent a=−ln⁡2a = -\ln 2. Ici a=−μxa = -\mu x.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. Traduire la condition de demi-atténuation

    L'intensité est divisée par deux quand I(x)=12I0.I(x) = \frac{1}{2} I_0. En remplaçant I(x)I(x) par son expression : I0 e−μx=12I0.I_0\, e^{-\mu x} = \frac{1}{2} I_0.

  2. 2. Simplifier l'équation

    Comme I0>0I_0 > 0, on peut diviser les deux membres par I0I_0 : e−μx=12.e^{-\mu x} = \frac{1}{2}. L'épaisseur cherchée ne dépend donc pas de l'intensité de départ : c'est une caractéristique du matériau.

  3. 3. Résoudre l'équation

    La fonction exponentielle est strictement croissante sur R\mathbb{R} : l'équation e−μx=12e^{-\mu x} = \frac{1}{2} admet une unique solution. L'antécédent de 12\frac{1}{2} par l'exponentielle est −ln⁡2-\ln 2, donc −μx=−ln⁡2-\mu x = -\ln 2, d'où x=ln⁡2μ.x = \frac{\ln 2}{\mu}.

  4. 4. Calculer la valeur numérique

    On remplace : x=ln⁡20,23≈0,6930,23≈3,01x = \frac{\ln 2}{0{,}23} \approx \frac{0{,}693}{0{,}23} \approx 3{,}01 cm. On peut vérifier : I(3,01)=I0 e−0,23×3,01≈I0 e−0,692≈0,50 I0I(3{,}01) = I_0\, e^{-0{,}23 \times 3{,}01} \approx I_0\, e^{-0{,}692} \approx 0{,}50\, I_0, soit bien la moitié de l'intensité initiale.

  5. 5. Conclure

    L'épaisseur de demi-atténuation du matériau est d'environ 3,013{,}01 cm : toutes les couches de cette épaisseur divisent l'intensité par deux.
Réponse finale
x=ln⁡2μ=ln⁡20,23≈3,01 cmx = \frac{\ln 2}{\mu} = \frac{\ln 2}{0{,}23} \approx 3{,}01 \ \text{cm}
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