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Rêves Vision
Terminale STI2D

Le nombre de vues d'une vidéo

Énoncé

Une vidéo postée sur une plateforme de partage devient virale. Le nombre de vues est modélisé par N(t)=N0 ektN(t) = N_0\, e^{k t}, où tt est le temps en jours depuis la publication, N0N_0 le nombre de vues initial et kk un coefficient strictement positif. On observe N0=5000N_0 = 5000 vues à la publication (instant t=0t = 0) et un coefficient k=0,25k = 0{,}25 par jour. Le modèle prévoit-il une croissance ? Estimer le nombre de vues au bout de 1010 jours (arrondir à la centaine).

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. Justifier qu'il s'agit d'une croissance

    La dérivée du modèle est N′(t)=kN0 ekt.N'(t) = k N_0\, e^{k t}. Comme k=0,25>0k = 0{,}25 > 0, N0=5000>0N_0 = 5000 > 0 et ekt>0e^{k t} > 0 pour tout tt, on en déduit que N′(t)>0N'(t) > 0. La fonction NN est donc strictement croissante : le modèle prévoit bien une croissance du nombre de vues.

  2. 2. Écrire le nombre de vues au bout de 10 jours

    On remplace tt par 1010 dans le modèle : N(10)=5000×e0,25×10=5000×e2,5.N(10) = 5000 \times e^{0{,}25 \times 10} = 5000 \times e^{2{,}5}.

  3. 3. Calculer la valeur numérique

    On a e2,5≈12,182e^{2{,}5} \approx 12{,}182, donc N(10)≈5000×12,182≈60 912.N(10) \approx 5000 \times 12{,}182 \approx 60\,912. Arrondi à la centaine, cela fait environ 60 90060\,900 vues.

  4. 4. Conclure

    Le modèle prévoit une croissance, et au bout de 1010 jours la vidéo atteindrait environ 60 90060\,900 vues.
Réponse finale
N(10)=5000 e2,5≈60 900 vuesN(10) = 5000\, e^{2{,}5} \approx 60\,900 \ \text{vues}
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