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Rêves Vision
Terminale STI2D

Simplifier des expressions avec l'exponentielle

Énoncé

En préparant une chaîne de traitement du signal, un technicien doit regrouper plusieurs facteurs d'amplification écrits sous forme d'exponentielles. Il obtient les deux expressions A=e2,5×e−1,5e−2A = \dfrac{e^{2{,}5} \times e^{-1{,}5}}{e^{-2}} et B=(e−0,5)4×e3B = \left(e^{-0{,}5}\right)^{4} \times e^{3}. Écrire AA et BB sous la forme ene^{n} avec nn entier, puis donner une valeur approchée de chacune au centième.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Simplifier le numérateur de A

    Au numérateur, on a un produit d'exponentielles. D'après l'équation fonctionnelle ea×eb=ea+be^{a} \times e^{b} = e^{a+b} : e2,5×e−1,5=e2,5+(−1,5)=e1.e^{2{,}5} \times e^{-1{,}5} = e^{2{,}5 + (-1{,}5)} = e^{1}. Le numérateur vaut donc e1e^{1}.

  2. 2. Simplifier la fraction A

    On utilise maintenant eaeb=ea−b\dfrac{e^{a}}{e^{b}} = e^{a-b}, donc A=e1e−2=e1−(−2)=e3.A = \dfrac{e^{1}}{e^{-2}} = e^{1 - (-2)} = e^{3}. Ainsi A=e3A = e^{3}, qui est bien de la forme ene^{n} avec n=3n = 3.

  3. 3. Simplifier B avec la puissance d'une exponentielle

    Pour BB, on commence par la puissance. D'après (ea)n=ena\left(e^{a}\right)^{n} = e^{n a} : (e−0,5)4=e4×(−0,5)=e−2.\left(e^{-0{,}5}\right)^{4} = e^{4 \times (-0{,}5)} = e^{-2}. Puis, avec l'équation fonctionnelle : B=e−2×e3=e−2+3=e1.B = e^{-2} \times e^{3} = e^{-2 + 3} = e^{1}. Donc B=e1=eB = e^{1} = e.

  4. 4. Donner les valeurs approchées

    On a e3≈20,086e^{3} \approx 20{,}086 et e1=e≈2,718e^{1} = e \approx 2{,}718. Arrondis au centième : A≈20,09A \approx 20{,}09 et B≈2,72B \approx 2{,}72. Les deux résultats sont strictement positifs, ce qui est cohérent car une exponentielle est toujours strictement positive.

  5. 5. Conclure

    On obtient A=e3≈20,09A = e^{3} \approx 20{,}09 et B=e≈2,72B = e \approx 2{,}72. Chaque expression s'écrit bien sous la forme ene^{n} avec un exposant entier, en transformant chaque produit ou quotient d'exponentielles en une somme dans l'exposant.
Réponse finale
A=e3≈20,09;B=e1=e≈2,72A = e^{3} \approx 20{,}09 \quad ; \quad B = e^{1} = e \approx 2{,}72
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