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Rêves Vision
Terminale STI2D

Joueurs actifs d'un nouveau mode de jeu

Énoncé

Un studio lance un nouveau mode de jeu en ligne. Le nombre de joueurs actifs chaque jour, en millions, est modélisé par f(t)=2−1,5 e−0,4tf(t) = 2 - 1{,}5\, e^{-0{,}4 t}, où tt est le temps en semaines depuis le lancement (t≥0t \geq 0). Calculer f′(t)f'(t) et en déduire le sens de variation de ff. Calculer ensuite le nombre de joueurs au lancement (t=0t = 0) puis au bout de 55 semaines (arrondir au centième de million). Enfin, en utilisant la limite de l'exponentielle, préciser vers quelle valeur tend le nombre de joueurs.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. Repérer la structure de la fonction

    La fonction est une différence : f(t)=2−1,5 e−0,4t.f(t) = 2 - 1{,}5\, e^{-0{,}4 t}. Le terme 22 est une constante, donc sa dérivée est nulle. Il reste à dériver −1,5 e−0,4t-1{,}5\, e^{-0{,}4 t}.

  2. 2. Dériver le terme exponentiel

    On pose u(t)=−0,4tu(t) = -0{,}4 t, donc u′(t)=−0,4u'(t) = -0{,}4. D'après la formule (eu)′=u′×eu\left(e^{u}\right)' = u' \times e^{u} : (e−0,4t)′=−0,4×e−0,4t.\left(e^{-0{,}4 t}\right)' = -0{,}4 \times e^{-0{,}4 t}. En multipliant par le coefficient −1,5-1{,}5 : f′(t)=−1,5×(−0,4)×e−0,4t=0,6 e−0,4t.f'(t) = -1{,}5 \times (-0{,}4) \times e^{-0{,}4 t} = 0{,}6\, e^{-0{,}4 t}.

  3. 3. Déterminer le sens de variation

    Pour tout réel tt, e−0,4t>0e^{-0{,}4 t} > 0 et 0,6>00{,}6 > 0, donc f′(t)=0,6 e−0,4t>0f'(t) = 0{,}6\, e^{-0{,}4 t} > 0. La dérivée est strictement positive : la fonction ff est donc strictement croissante sur [0 ; +∞[[0\,;\,+\infty[. Le nombre de joueurs augmente bien au fil des semaines.

  4. 4. Calculer le nombre de joueurs au lancement et à 5 semaines

    Au lancement, on remplace tt par 00 : f(0)=2−1,5×e0=2−1,5×1=0,5f(0) = 2 - 1{,}5 \times e^{0} = 2 - 1{,}5 \times 1 = 0{,}5 million. Au bout de 55 semaines : f(5)=2−1,5×e−0,4×5=2−1,5×e−2.f(5) = 2 - 1{,}5 \times e^{-0{,}4 \times 5} = 2 - 1{,}5 \times e^{-2}. Or e−2≈0,135e^{-2} \approx 0{,}135, donc f(5)≈2−1,5×0,135≈2−0,203≈1,80f(5) \approx 2 - 1{,}5 \times 0{,}135 \approx 2 - 0{,}203 \approx 1{,}80 million.

  5. 5. Déterminer la valeur limite

    Quand t→+∞t \to +\infty, l'exposant −0,4t→−∞-0{,}4 t \to -\infty, donc lim⁡t→+∞e−0,4t=0\lim_{t \to +\infty} e^{-0{,}4 t} = 0. Par conséquent 1,5 e−0,4t→01{,}5\, e^{-0{,}4 t} \to 0, et f(t)→2−0=2.f(t) \to 2 - 0 = 2. Le nombre de joueurs se rapproche de 22 millions sans jamais l'atteindre : la droite d'équation y=2y = 2 est une asymptote horizontale.

  6. 6. Conclure

    La dérivée f′(t)=0,6 e−0,4tf'(t) = 0{,}6\, e^{-0{,}4 t} est strictement positive, donc ff est croissante : on part de 0,50{,}5 million de joueurs au lancement, environ 1,801{,}80 million au bout de 55 semaines, et le nombre de joueurs tend vers 22 millions à long terme.
Réponse finale
f′(t)=0,6 e−0,4t>0;f(0)=0,5;f(5)=2−1,5 e−2≈1,80;lim⁡t→+∞f(t)=2 (millions)f'(t) = 0{,}6\, e^{-0{,}4 t} > 0 \quad ; \quad f(0) = 0{,}5 \quad ; \quad f(5) = 2 - 1{,}5\, e^{-2} \approx 1{,}80 \quad ; \quad \lim_{t \to +\infty} f(t) = 2 \ \text{(millions)}
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