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Rêves Vision
Terminale STI2D

Refroidissement d'une pièce métallique

Énoncé

À la sortie d'un four, une pièce métallique refroidit dans un atelier. Sa température, en degrés Celsius, est modélisée par T(t)=20+180 e−0,05tT(t) = 20 + 180\, e^{-0{,}05 t}, où tt est le temps en minutes. La vitesse de refroidissement à l'instant tt est donnée par la dérivée T′(t)T'(t), en degrés Celsius par minute. Déterminer T′(t)T'(t), puis la vitesse de refroidissement à t=0t = 0 et à t=10t = 10 minutes (arrondir au centième).
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Le terme 2020 est une constante : sa dérivée est nulle. Concentre-toi sur la dérivée de 180 e−0,05t180\, e^{-0{,}05 t}.
  2. Pour dériver eue^{u}, utilise (eu)′=u′×eu\left(e^{u}\right)' = u' \times e^{u}. Ici l'exposant est u(t)=−0,05tu(t) = -0{,}05 t, donc u′(t)=−0,05u'(t) = -0{,}05.
  3. Une fois T′(t)=−9 e−0,05tT'(t) = -9\, e^{-0{,}05 t} obtenu, remplace tt par 00 puis par 1010. Rappelle-toi que e0=1e^{0} = 1.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Repérer la structure de la fonction

    La fonction est une somme : T(t)=20+180 e−0,05t.T(t) = 20 + 180\, e^{-0{,}05 t}. Le terme 2020 est une constante, donc sa dérivée est nulle. Il reste à dériver 180 e−0,05t180\, e^{-0{,}05 t}.

  2. 2. Dériver le terme exponentiel

    On pose u(t)=−0,05tu(t) = -0{,}05 t, donc u′(t)=−0,05u'(t) = -0{,}05. D'après la formule (eu)′=u′×eu\left(e^{u}\right)' = u' \times e^{u}, on obtient (e−0,05t)′=−0,05×e−0,05t.\left(e^{-0{,}05 t}\right)' = -0{,}05 \times e^{-0{,}05 t}. En multipliant par le coefficient 180180 : T′(t)=180×(−0,05)×e−0,05t=−9 e−0,05t.T'(t) = 180 \times (-0{,}05) \times e^{-0{,}05 t} = -9\, e^{-0{,}05 t}.

  3. 3. Calculer la vitesse à l'instant initial

    On remplace tt par 00 : T′(0)=−9×e0=−9×1=−9T'(0) = -9 \times e^{0} = -9 \times 1 = -9 °C/min. Le signe négatif confirme que la pièce refroidit, et la valeur indique qu'elle perd 99 °C par minute juste à la sortie du four.

  4. 4. Calculer la vitesse à t égal à 10 minutes

    On remplace tt par 1010 : T′(10)=−9×e−0,05×10=−9×e−0,5.T'(10) = -9 \times e^{-0{,}05 \times 10} = -9 \times e^{-0{,}5}. Or e−0,5≈0,607e^{-0{,}5} \approx 0{,}607, donc T′(10)≈−9×0,607≈−5,46T'(10) \approx -9 \times 0{,}607 \approx -5{,}46 °C/min. Le refroidissement est plus lent qu'au départ : c'est cohérent, car la pièce se rapproche de la température ambiante.

  5. 5. Conclure

    La vitesse de refroidissement vaut T′(t)=−9 e−0,05tT'(t) = -9\, e^{-0{,}05 t} : elle est de −9-9 °C/min à la sortie du four et d'environ −5,46-5{,}46 °C/min au bout de 1010 minutes.
Réponse finale
T′(t)=−9 e−0,05t;T′(0)=−9 °C/min;T′(10)=−9 e−0,5≈−5,46 °C/minT'(t) = -9\, e^{-0{,}05 t} \quad ; \quad T'(0) = -9 \ \text{°C/min} \quad ; \quad T'(10) = -9\, e^{-0{,}5} \approx -5{,}46 \ \text{°C/min}
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