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Rêves Vision
Terminale STI2D

Valeur d'une machine d'atelier dans le temps

Énoncé

Un atelier achète une machine de découpe. Sa valeur, en euros, est modélisée par V(t)=18000 e−0,15tV(t) = 18000\, e^{-0{,}15 t}, où tt est le temps en années depuis l'achat (t≥0t \geq 0). Déterminer la valeur de la machine au bout de 55 ans (arrondir à l'euro). L'atelier prévoit de revendre la machine dès que sa valeur passe en dessous de 60006000 euros : déterminer au bout de combien d'années cela se produit (arrondir au centième d'année). On rappelle que ln⁡3≈1,099\ln 3 \approx 1{,}099.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Pour la valeur à 55 ans, remplace simplement tt par 55 dans V(t)V(t) et calcule 18000×e−0,15×518000 \times e^{-0{,}15 \times 5}.
  2. Pour le seuil, écris l'équation V(t)=6000V(t) = 6000, soit 18000 e−0,15t=600018000\, e^{-0{,}15 t} = 6000, puis divise les deux membres par 1800018000 pour isoler l'exponentielle.
  3. Tu dois aboutir à e−0,15t=13e^{-0{,}15 t} = \dfrac{1}{3}. L'antécédent de 13\dfrac{1}{3} par l'exponentielle est −ln⁡3-\ln 3 (car ln⁡13=−ln⁡3\ln\dfrac{1}{3} = -\ln 3), donc −0,15t=−ln⁡3-0{,}15 t = -\ln 3.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Calculer la valeur au bout de 5 ans

    On remplace tt par 55 dans le modèle : V(5)=18000×e−0,15×5=18000×e−0,75.V(5) = 18000 \times e^{-0{,}15 \times 5} = 18000 \times e^{-0{,}75}. Or e−0,75≈0,472e^{-0{,}75} \approx 0{,}472, donc V(5)≈18000×0,472≈8503V(5) \approx 18000 \times 0{,}472 \approx 8503 euros. La machine a perdu de la valeur, ce qui est cohérent avec une décroissance exponentielle.

  2. 2. Traduire la condition de revente

    La machine est revendue lorsque sa valeur atteint 60006000 euros, c'est-à-dire V(t)=6000V(t) = 6000. En remplaçant V(t)V(t) par son expression : 18000 e−0,15t=6000.18000\, e^{-0{,}15 t} = 6000.

  3. 3. Isoler l'exponentielle

    On divise les deux membres par 1800018000 (qui est strictement positif) : e−0,15t=600018000=13.e^{-0{,}15 t} = \dfrac{6000}{18000} = \dfrac{1}{3}. La valeur de départ se simplifie : l'instant de revente ne dépend que du taux de décroissance.

  4. 4. Résoudre l'équation

    La fonction exponentielle est strictement croissante sur R\mathbb{R} : l'équation e−0,15t=13e^{-0{,}15 t} = \dfrac{1}{3} admet une unique solution. L'antécédent de 13\dfrac{1}{3} par l'exponentielle est ln⁡13=−ln⁡3\ln\dfrac{1}{3} = -\ln 3, donc −0,15t=−ln⁡3-0{,}15 t = -\ln 3, d'où t=ln⁡30,15.t = \dfrac{\ln 3}{0{,}15}.

  5. 5. Calculer la valeur numérique

    On remplace : t=ln⁡30,15≈1,0990,15≈7,32t = \dfrac{\ln 3}{0{,}15} \approx \dfrac{1{,}099}{0{,}15} \approx 7{,}32 ans. On peut vérifier : V(7,32)=18000×e−0,15×7,32≈18000×e−1,098≈18000×0,333≈6000V(7{,}32) = 18000 \times e^{-0{,}15 \times 7{,}32} \approx 18000 \times e^{-1{,}098} \approx 18000 \times 0{,}333 \approx 6000 euros, soit bien le seuil annoncé.

  6. 6. Conclure

    Au bout de 55 ans, la machine vaut environ 85038503 euros, et sa valeur passe en dessous de 60006000 euros au bout d'environ 7,327{,}32 ans : c'est à ce moment que l'atelier prévoit de la revendre.
Réponse finale
V(5)=18000 e−0,75≈8503 €;t=ln⁡30,15≈7,32 ansV(5) = 18000\, e^{-0{,}75} \approx 8503 \ \text{€} \quad ; \quad t = \dfrac{\ln 3}{0{,}15} \approx 7{,}32 \ \text{ans}
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