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Rêves Vision
Terminale STI2D

Combien de bits pour coder 1000 valeurs

Énoncé

Avec nn bits, un capteur peut coder 2n2^n valeurs différentes. On veut pouvoir coder au moins 10001000 niveaux distincts pour la mesure d'une grandeur. Cela revient à résoudre l'inéquation 2n≥10002^n \geq 1000. Déterminer le plus petit nombre entier de bits nn qui convient.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. Appliquer le logarithme aux deux membres

    Les deux membres 2n2^n et 10001000 sont strictement positifs. La fonction log⁡\log étant strictement croissante, elle conserve le sens de l'inégalité : 2n≥10002^n \geq 1000 équivaut à log⁡ ⁣(2n)≥log⁡(1000)\log\!\left(2^n\right) \geq \log(1000).

  2. 2. Faire descendre l'exposant

    D'après la propriété de la puissance, log⁡ ⁣(2n)=n×log⁡(2)\log\!\left(2^n\right) = n \times \log(2). Par ailleurs log⁡(1000)=log⁡ ⁣(103)=3\log(1000) = \log\!\left(10^3\right) = 3. L'inéquation devient donc n×log⁡(2)≥3n \times \log(2) \geq 3.

  3. 3. Isoler n

    On divise les deux membres par log⁡(2)\log(2). Comme log⁡(2)≈0,301\log(2) \approx 0{,}301 est positif, le sens de l'inégalité ne change pas : n≥3log⁡(2)≈30,301≈9,97n \geq \dfrac{3}{\log(2)} \approx \dfrac{3}{0{,}301} \approx 9{,}97.

  4. 4. Choisir le plus petit entier

    Comme nn est un nombre entier de bits et que n≥9,97n \geq 9{,}97, le plus petit entier qui convient est n=10n = 10. On vérifie : 29=512<10002^9 = 512 < 1000 (insuffisant) et 210=1024≥10002^{10} = 1024 \geq 1000 (convient). Il faut donc 10 bits pour coder au moins 1000 valeurs différentes.
Réponse finale
n≥3log⁡(2)≈9,97⟹n=10 bits(210=1024≥1000)n \geq \dfrac{3}{\log(2)} \approx 9{,}97 \quad \Longrightarrow \quad n = 10 \ \text{bits} \quad (2^{10} = 1024 \geq 1000)
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