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Rêves Vision
Terminale STI2D

Deux ventilateurs identiques en marche

Énoncé

Dans un atelier, le niveau sonore LL (en décibels, dB) associé à une intensité acoustique II (en W/m2^2) est donné par L=10×log⁡ ⁣(II0)L = 10 \times \log\!\left(\dfrac{I}{I_0}\right), avec I0=10−12I_0 = 10^{-12} W/m2^2. Un ventilateur de refroidissement produit à lui seul une intensité I=2×10−6I = 2 \times 10^{-6} W/m2^2. a) Calculer le niveau sonore L1L_1 d'un seul ventilateur (on donne log⁡(2)≈0,30\log(2) \approx 0{,}30). b) On met en marche un second ventilateur identique : les intensités s'additionnent, l'intensité totale est donc doublée. De combien de décibels le niveau sonore augmente-t-il ?

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. a) Écrire le rapport des intensités

    On remplace II et I0I_0 par leurs valeurs : II0=2×10−610−12\dfrac{I}{I_0} = \dfrac{2 \times 10^{-6}}{10^{-12}}. Pour le quotient de puissances de 1010, on soustrait les exposants : 10−610−12=10−6−(−12)=106\dfrac{10^{-6}}{10^{-12}} = 10^{-6 - (-12)} = 10^{6}. Donc II0=2×106\dfrac{I}{I_0} = 2 \times 10^{6}.

  2. 2. a) Calculer le niveau sonore d'un ventilateur

    On applique la formule : L1=10×log⁡ ⁣(2×106)L_1 = 10 \times \log\!\left(2 \times 10^{6}\right). D'après la propriété du produit, log⁡ ⁣(2×106)=log⁡(2)+log⁡ ⁣(106)=0,30+6=6,30\log\!\left(2 \times 10^{6}\right) = \log(2) + \log\!\left(10^{6}\right) = 0{,}30 + 6 = 6{,}30. Donc L1=10×6,30=63L_1 = 10 \times 6{,}30 = 63 dB.

  3. 3. b) Exprimer le niveau avec deux ventilateurs

    Avec deux ventilateurs, l'intensité totale vaut 2×I2 \times I, donc le rapport devient 2II0=2×II0\dfrac{2I}{I_0} = 2 \times \dfrac{I}{I_0}. Le nouveau niveau est L2=10×log⁡ ⁣(2×II0)=10×[log⁡(2)+log⁡ ⁣(II0)]L_2 = 10 \times \log\!\left(2 \times \dfrac{I}{I_0}\right) = 10 \times \left[\log(2) + \log\!\left(\dfrac{I}{I_0}\right)\right].

  4. 4. b) Calculer l'augmentation

    La variation est L2−L1=10×log⁡(2)+10×log⁡ ⁣(II0)−10×log⁡ ⁣(II0)=10×log⁡(2)L_2 - L_1 = 10 \times \log(2) + 10 \times \log\!\left(\dfrac{I}{I_0}\right) - 10 \times \log\!\left(\dfrac{I}{I_0}\right) = 10 \times \log(2). On calcule : L2−L1=10×0,30=3L_2 - L_1 = 10 \times 0{,}30 = 3 dB. Doubler l'intensité (deux ventilateurs au lieu d'un) augmente le niveau sonore de seulement 3 dB environ, et non du double. C'est tout l'intérêt de l'échelle logarithmique : un écart additif correspond à un facteur multiplicatif.
Réponse finale
L1=10×log⁡ ⁣(2×106)=63 dB;L2−L1=10×log⁡(2)≈3 dBL_1 = 10 \times \log\!\left(2 \times 10^{6}\right) = 63 \ \text{dB} \quad ; \quad L_2 - L_1 = 10 \times \log(2) \approx 3 \ \text{dB}
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