Terminale STI2D · Chapitre 3

Fonction logarithme

Cours de Terminale STI2D sur le logarithme népérien et décimal : propriétés algébriques, dérivée, variations, résolution d'équations exponentielles, échelles décibels et pH. Exercices corrigés.

8 exercices corrigés · Terminale STI2D - mathématiques · Mis à jour en juin 2026

En technologie, beaucoup de grandeurs se mesurent sur des échelles en puissances de 10 : le niveau sonore en décibels, l’acidité d’une solution en pH, la magnitude d’un signal. D’autres décroissent de façon exponentielle : la tension aux bornes d’un condensateur qui se décharge, la température d’une pièce qui refroidit, l’amplitude d’un signal qui s’atténue. Le point commun ? Pour revenir à l’exposant, c’est-à-dire pour résoudre une équation où l’inconnue est en puissance, on a besoin de la fonction logarithme. C’est la touche $\ln$ (ou $\log$ ) de ta calculatrice, et l’outil réciproque de l’exponentielle.

Mes objectifs sur ce chapitre

À la fin de ce chapitre, je sais :

reconnaître que $\ln$ et la fonction exponentielle sont réciproques l’une de l’autre ;
utiliser les propriétés algébriques du logarithme (produit, quotient, puissance) ;
distinguer le logarithme népérien $\ln$ (base $e$ ) du logarithme décimal $\log$ (base $10$ ) ;
connaître la dérivée de $\ln$ et en déduire ses variations ;
résoudre une équation exponentielle (du type $a^x = b$ ou $e^{kx} = b$ ) à l’aide du logarithme ;
exploiter une échelle logarithmique : niveau sonore en décibels, pH, demi-vie.

À quoi ça sert, concrètement ?

Imagine un condensateur qui se décharge : sa tension suit une loi $u(t) = E\,e^{-t/\tau}$ . Tu sais répondre à « quelle tension après $2$ s ? » en calculant une exponentielle. Mais la vraie question d’un technicien, c’est souvent l’inverse : « au bout de combien de temps la tension descend-elle sous $1$ V ? ». Là, l’inconnue $t$ est dans l’exposant - et c’est le logarithme qui va l’en faire sortir.

Même histoire pour : « combien de bits faut-il pour coder $1000$ valeurs ? » ( $2^n \ge 1000$ ), « de combien augmente le niveau sonore si l’intensité est multipliée par $10$  ? », « quelle est la demi-vie d’une source dans un capteur ? ». À chaque fois, le logarithme est la clé qui ouvre l’exposant.

1. Le logarithme népérien

Logarithme népérien

La fonction logarithme népérien, notée $\ln$ , est définie sur l’intervalle $]0\,;\,+\infty[$ . C’est la fonction réciproque de la fonction exponentielle : elle « annule » l’exponentielle.

Pour tout réel $x > 0$ et tout réel $y$ :

$\ln(x) = y \quad \Longleftrightarrow \quad x = e^{\,y}.$

Autrement dit, $\ln(x)$ est l’exposant qu’il faut donner à $e$ pour retrouver $x$ .

Logarithme et exponentielle s'annulent

Comme $\ln$ et $\exp$ sont réciproques, elles se simplifient quand on les enchaîne :

$\ln\big(e^{\,x}\big) = x \quad \text{(pour tout réel } x\text{)} \qquad\text{et}\qquad e^{\,\ln(x)} = x \quad \text{(pour tout } x > 0\text{)}.$

C’est exactement ce mécanisme qui permet de sortir l’inconnue d’un exposant.

Valeurs et signe à connaître

$\ln(1) = 0$ : l’exposant qui donne $e^0 = 1$ est bien $0$ .
$\ln(e) = 1$ : car $e^1 = e$ .
$\ln(x) < 0$ lorsque $0 < x < 1$ , et $\ln(x) > 0$ lorsque $x > 1$ .
$\ln$ n’est définie que pour $x > 0$ : on ne peut pas calculer le logarithme de $0$ ni d’un nombre négatif.

2. Propriétés algébriques

C’est le cœur du chapitre : le logarithme transforme les multiplications en additions. C’est ce qui rend les échelles logarithmiques si pratiques.

Les règles de calcul du logarithme

Pour tous réels $a > 0$ et $b > 0$ , et tout entier $n$ :

$\ln(a \times b) = \ln(a) + \ln(b) \qquad \text{(produit)}$

$\ln\!\left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b) \qquad \text{(quotient)}$

$\ln\!\left(a^{\,n}\right) = n \times \ln(a) \qquad \text{(puissance)}$

Cas particuliers utiles : $\ln\!\left(\dfrac{1}{b}\right) = -\ln(b)$ et $\ln\big(\sqrt{a}\big) = \dfrac{1}{2}\ln(a)$ .

Manipuler les propriétés

$\ln(15) = \ln(3 \times 5) = \ln(3) + \ln(5)$ .
$\ln(8) = \ln\!\left(2^{3}\right) = 3\ln(2)$ .
$\ln\!\left(\dfrac{1}{e}\right) = \ln(1) - \ln(e) = 0 - 1 = -1$ .
$\ln\!\left(e^{5}\right) = 5$ (on enchaîne $\ln$ et $\exp$ ).

La propriété de la puissance est la plus précieuse : c’est elle qui fait « descendre » l’exposant devant le logarithme, et donc qui permet de l’isoler.

Le piège du logarithme d'une somme

FAUX : « $\ln(a + b) = \ln(a) + \ln(b)$ ».

VRAI : c’est le logarithme d’un produit qui se sépare en somme : $\ln(a \times b) = \ln(a) + \ln(b)$ . Le logarithme d’une somme ne se simplifie pas : $\ln(a + b)$ reste $\ln(a + b)$ .

Vérifie sur un exemple : $\ln(2 + 8) = \ln(10) \approx 2{,}30$ , alors que $\ln(2) + \ln(8) \approx 0{,}69 + 2{,}08 = 2{,}77$ . Les deux ne sont pas égaux. Le logarithme transforme les multiplications (pas les additions) en additions.

3. Dérivée et variations

Dérivée du logarithme népérien

La fonction $\ln$ est dérivable sur $]0\,;\,+\infty[$ et :

$\big(\ln(x)\big)' = \frac{1}{x}.$

Plus généralement, si $u$ est une fonction strictement positive et dérivable, alors $\big(\ln(u)\big)' = \dfrac{u'}{u}$ .

Variations de la fonction logarithme

Sur $]0\,;\,+\infty[$ , la dérivée $\dfrac{1}{x}$ est toujours strictement positive. Donc :

la fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0\,;\,+\infty[$ .

Conséquence très utile : comme $\ln$ conserve l’ordre, pour deux nombres strictement positifs $a$ et $b$ ,

$a < b \quad \Longleftrightarrow \quad \ln(a) < \ln(b).$

C’est ce qui autorise à « prendre le logarithme des deux côtés » d’une inégalité sans changer son sens.

Dériver une expression avec un logarithme

Soit $f(x) = 3\ln(x) - x$ sur $]0\,;\,+\infty[$ .

On dérive terme par terme : la dérivée de $3\ln(x)$ est $3 \times \dfrac{1}{x} = \dfrac{3}{x}$ , et la dérivée de $-x$ est $-1$ . Donc

$f'(x) = \frac{3}{x} - 1 = \frac{3 - x}{x}.$

Comme $x > 0$ , le signe de $f'(x)$ est celui de $3 - x$ : positif pour $x < 3$ , négatif pour $x > 3$ . La fonction $f$ admet donc un maximum en $x = 3$ .

4. Le logarithme décimal

Logarithme décimal

Le logarithme décimal, noté $\log$ , est le logarithme réglé sur la base $10$ . Il est défini pour $x > 0$ par :

$\log(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(10)}.$

Il est conçu pour les puissances de 10, ce qui le rend idéal en sciences physiques et en technologie.

Le logarithme décimal compte les puissances de 10

Pour tout entier $n$ : $\log\!\left(10^{\,n}\right) = n$ . En particulier :

$x$	$0{,}01$	$0{,}1$	$1$	$10$	$100$	$1000$
$\log(x)$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$

Le logarithme décimal possède les mêmes propriétés algébriques que $\ln$ (produit, quotient, puissance). Sa dérivée est $\big(\log(x)\big)' = \dfrac{1}{x\,\ln(10)}$ .

Retiens surtout : multiplier $x$ par $10$ ajoute $1$ au logarithme, multiplier par $100$ ajoute $2$ , etc.

5. Résoudre une équation exponentielle

C’est l’application reine du logarithme : faire descendre l’inconnue de l’exposant.

Résoudre une équation du type a puissance x ou e puissance kx

Isoler la puissance d’un côté de l’égalité (la mettre seule).
Appliquer le logarithme ( $\ln$ ou $\log$ ) aux deux membres.
Utiliser la propriété de la puissance pour faire descendre l’exposant : $\ln\!\left(a^{x}\right) = x\ln(a)$ ou $\ln\!\left(e^{kx}\right) = kx$ .
Isoler l’inconnue par une division (par $\ln(a)$ ou par $k$ ).
Calculer la valeur (avec la calculatrice) et vérifier l’ordre de grandeur.

Résoudre 2 puissance x égale 50

On veut résoudre $2^{x} = 50$ .

On applique le logarithme décimal aux deux membres (qui sont positifs) :

$\log\!\left(2^{x}\right) = \log(50) \quad\Longrightarrow\quad x\,\log(2) = \log(50).$

On isole $x$ en divisant par $\log(2)$ , qui est positif :

$x = \frac{\log(50)}{\log(2)} \approx \frac{1{,}699}{0{,}301} \approx 5{,}64.$

Vérification d’ordre de grandeur : $2^{5} = 32$ et $2^{6} = 64$ , donc une solution entre $5$ et $6$ est cohérente.

Résoudre une équation avec e (décharge)

La tension d’un condensateur qui se décharge vaut $u(t) = 5\,e^{-t}$ (en V, avec $t$ en s). À quel instant atteint-elle $1$ V ?

On résout $5\,e^{-t} = 1$ . On isole l’exponentielle : $e^{-t} = \dfrac{1}{5} = 0{,}2$ . On applique $\ln$ :

$\ln\!\left(e^{-t}\right) = \ln(0{,}2) \quad\Longrightarrow\quad -t = \ln(0{,}2) \quad\Longrightarrow\quad t = -\ln(0{,}2) = \ln(5) \approx 1{,}61 \text{ s}.$

(On a utilisé $\ln(0{,}2) = \ln\!\left(\dfrac{1}{5}\right) = -\ln(5)$ .)

Le piège du sens de l'inégalité quand on divise

FAUX : « je passe au logarithme dans $0{,}2^{x} \le 0{,}1$ , donc $x \le \dfrac{\log(0{,}1)}{\log(0{,}2)}$ ».

VRAI : appliquer le logarithme conserve le sens de l’inégalité (car $\log$ est croissante) : $x\,\log(0{,}2) \le \log(0{,}1)$ . Mais ici $\log(0{,}2)$ est négatif (car $0{,}2 < 1$ ) : en divisant par un nombre négatif, on inverse le sens de l’inégalité. On obtient donc $x \ge \dfrac{\log(0{,}1)}{\log(0{,}2)}$ .

Le réflexe : avant de diviser par $\ln(a)$ ou $\log(a)$ , regarde son signe. S’il est négatif (base entre $0$ et $1$ ), l’inégalité change de sens.

6. Échelles logarithmiques

Quand une grandeur varie sur plusieurs ordres de grandeur, on l’écrase sur une échelle logarithmique : chaque pas correspond à une multiplication, pas à une addition.

Niveau sonore en décibels

Le niveau sonore $L$ (en décibels, dB) associé à une intensité acoustique $I$ (en W/m²) est :

$L = 10 \times \log\!\left(\frac{I}{I_0}\right), \qquad \text{avec } I_0 = 10^{-12} \text{ W/m}^2 \text{ (seuil d'audibilité).}$

Conséquence directe : multiplier l’intensité par $10$ ajoute $10$ dB ; la multiplier par $100$ ajoute $20$ dB. C’est pour cela qu’un bruit « deux fois plus fort » à l’oreille correspond en réalité à une intensité bien plus que doublée.

Échelle de pH

Le pH d’une solution mesure la concentration en ions $\text{H}_3\text{O}^+$ (en mol/L) :

$\text{pH} = -\log\!\left(\big[\text{H}_3\text{O}^+\big]\right).$

Le signe « moins » fait qu’une solution plus acide (concentration plus grande) a un pH plus petit. Et comme c’est un logarithme décimal : multiplier la concentration par $10$ fait baisser le pH de $1$ ; la multiplier par $100$ fait baisser le pH de $2$ .

Le réflexe des échelles logarithmiques

Sur une échelle logarithmique (dB, pH, magnitude), un écart additif correspond à un facteur multiplicatif. Pour retrouver le facteur, repère à quelle puissance de $10$ correspond l’écart :

$+1$ en $\log$ $\Longleftrightarrow$ facteur $10$ ;
$+2$ en $\log$ $\Longleftrightarrow$ facteur $100$ ;
$+3$ en $\log$ $\Longleftrightarrow$ facteur $1000$ .

Et inversement, un facteur $10^{k}$ se traduit par un écart de $k$ unités logarithmiques.

Demi-vie d'un phénomène exponentiel décroissant

Une grandeur qui décroît exponentiellement s’écrit $N(t) = N_0\,e^{-\lambda t}$ (avec $\lambda > 0$ ). Sa demi-vie $t_{1/2}$ est le temps au bout duquel elle est divisée par 2. On la trouve avec le logarithme :

$\frac{N_0}{2} = N_0\,e^{-\lambda\,t_{1/2}} \;\Longrightarrow\; e^{-\lambda\,t_{1/2}} = \frac{1}{2} \;\Longrightarrow\; t_{1/2} = \frac{\ln(2)}{\lambda}.$

La demi-vie ne dépend pas de la valeur de départ $N_0$ : c’est une caractéristique du phénomène (source, signal, refroidissement).

Mémo : faire descendre l'exposant

Dès qu’une inconnue se trouve dans un exposant, le plan est toujours le même :

isoler la puissance (ou l’exponentielle) ;
appliquer $\ln$ (ou $\log$ ) des deux côtés ;
la propriété de la puissance fait descendre l’exposant devant le logarithme ;
on isole l’inconnue par une division - en surveillant le signe du logarithme de la base.

Exercices corrigés

Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.

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Calculer un niveau sonore en décibels

Le niveau sonore $L$ (en décibels, dB) associé à une intensité acoustique $I$ (en W/m $^2$ ) est donné par $L = 10 \times \log\!\left(\dfrac{I}{I_0}\right)$ , avec $I_0 = 10^{-12}$ W/m $^2$ (seuil d'audibilité). Dans un atelier, un capteur mesure une intensité $I = 10^{-5}$ W/m $^2$ . Calculer le niveau sonore $L$ correspondant.

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Combien de bits pour coder 1000 valeurs

Avec $n$ bits, un capteur peut coder $2^n$ valeurs différentes. On veut pouvoir coder au moins $1000$ niveaux distincts pour la mesure d'une grandeur. Cela revient à résoudre l'inéquation $2^n \geq 1000$ . Déterminer le plus petit nombre entier de bits $n$ qui convient.

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Deux ventilateurs identiques en marche

Dans un atelier, le niveau sonore $L$ (en décibels, dB) associé à une intensité acoustique $I$ (en W/m $^2$ ) est donné par $L = 10 \times \log\!\left(\dfrac{I}{I_0}\right)$ , avec $I_0 = 10^{-12}$ W/m $^2$ . Un ventilateur de refroidissement produit à lui seul une intensité $I = 2 \times 10^{-6}$ W/m $^2$ . a) Calculer le niveau sonore $L_1$ d'un seul ventilateur (on donne $\log(2) \approx 0{,}30$ ). b) On met en marche un second ventilateur identique : les intensités s'additionnent, l'intensité totale est donc doublée. De combien de décibels le niveau sonore augmente-t-il ?

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Simplifier une expression avec ln

Un logiciel de compression vidéo affiche un indicateur de complexité défini par $A = \ln\!\left(\dfrac{8 \times \sqrt{36}}{3}\right)$ . Sans calculatrice, et en utilisant seulement les valeurs $\ln(2) \approx 0{,}69$ et $\ln(3) \approx 1{,}10$ , écrire $A$ en fonction de $\ln(2)$ et $\ln(3)$ , puis en donner une valeur approchée.

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Temps de décharge d'un condensateur

Dans un circuit RC, un condensateur initialement chargé se décharge à travers une résistance. Sa tension (en volts) suit la loi $u(t) = E\,e^{-t/\tau}$ , où $E = 5$ V est la tension initiale et $\tau = R \times C$ la constante de temps. Ici $R = 10\,000\ \Omega$ et $C = 100\ \mu\text{F} = 100 \times 10^{-6}$ F. Déterminer l'instant $t$ (en secondes) où la tension atteint $1$ V.

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Une variation de pH et le facteur 100

Le pH d'une solution est défini par $\text{pH} = -\log\!\left(C\right)$ , où $C$ est la concentration en ions $\text{H}_3\text{O}^+$ (en mol/L). Un bain de traitement de surface, suivi par un capteur, passe d'une concentration $C_1$ à une concentration $C_2 = 100 \times C_1$ (la solution devient 100 fois plus concentrée en ions $\text{H}_3\text{O}^+$ ). Déterminer de combien d'unités varie le pH, et préciser s'il augmente ou diminue.

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Bonus

La demi-vie d'une source dans un capteur

Un détecteur de fumée à chambre d'ionisation utilise une petite source dont l'activité décroît avec le temps selon la loi $N(t) = N_0\,e^{-\lambda t}$ , où $N_0$ est l'activité initiale, $t$ le temps (en jours) et $\lambda = 0{,}05$ par jour la constante de désintégration. La demi-vie $t_{1/2}$ est le temps au bout duquel l'activité est divisée par $2$ . a) Exprimer la demi-vie $t_{1/2}$ en fonction de $\lambda$ , puis la calculer. b) Le capteur doit être remplacé quand l'activité tombe à $10\,\%$ de sa valeur initiale. Déterminer au bout de combien de jours cela se produit, et le comparer à la demi-vie.

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Réglage optimal d'une machine d'atelier

Dans un atelier, le gain de productivité $f$ (en unités arbitraires) obtenu en réglant la vitesse $x$ d'une machine (en milliers de tours par minute, avec $x > 0$ ) est modélisé par $f(x) = 50\ln(x) - 2x$ . On veut trouver le réglage $x$ qui rend ce gain maximal. a) Calculer la dérivée $f'(x)$ et la mettre sous la forme d'une seule fraction. b) Étudier le signe de $f'(x)$ sur $]0\,;\,+\infty[$ et en déduire les variations de $f$ . c) En déduire la vitesse $x$ qui maximise le gain et la valeur de ce gain maximal (on donne $\ln(25) \approx 3{,}22$ ).

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Quiz : 6 questions auto-corrigées

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Questions fréquentes

Quelle est la différence entre logarithme népérien et logarithme décimal ?

Le logarithme népérien, noté ln, est la fonction réciproque de l'exponentielle de base e : ln de e égale 1. Le logarithme décimal, noté log, est lui réglé sur la base 10 : log de 10 égale 1, log de 100 égale 2, log de 1000 égale 3. On l'utilise pour les échelles en puissances de 10 comme les décibels ou le pH. Les deux sont proportionnels : log de x égale ln de x divisé par ln de 10.

Comment résoudre une équation du type 2 puissance n est supérieur ou égal à 1000 ?

On applique le logarithme aux deux membres, car la fonction logarithme est strictement croissante et conserve donc l'ordre. On obtient n multiplié par log de 2 supérieur ou égal à log de 1000, puis on isole n en divisant par log de 2, qui est positif. On trouve n supérieur ou égal à environ 9,97, donc le plus petit entier qui convient est 10.

Quelle est la dérivée de la fonction logarithme népérien ?

La dérivée de ln de x est 1 divisé par x, pour x strictement positif. Comme 1 divisé par x est toujours positif sur cet intervalle, la fonction ln est strictement croissante sur l'ensemble des nombres strictement positifs. Pour le logarithme décimal, la dérivée de log de x est 1 divisé par x multiplié par ln de 10.