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Terminale STI2D

Simplifier une expression avec ln

Énoncé

Un logiciel de compression vidéo affiche un indicateur de complexité défini par A=ln⁡ ⁣(8×363)A = \ln\!\left(\dfrac{8 \times \sqrt{36}}{3}\right). Sans calculatrice, et en utilisant seulement les valeurs ln⁡(2)≈0,69\ln(2) \approx 0{,}69 et ln⁡(3)≈1,10\ln(3) \approx 1{,}10, écrire AA en fonction de ln⁡(2)\ln(2) et ln⁡(3)\ln(3), puis en donner une valeur approchée.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. Simplifier l'intérieur du logarithme

    On simplifie d'abord l'expression à l'intérieur. La racine vaut 36=6\sqrt{36} = 6, donc 8×363=8×63=483=16\dfrac{8 \times \sqrt{36}}{3} = \dfrac{8 \times 6}{3} = \dfrac{48}{3} = 16. Ainsi A=ln⁡(16)A = \ln(16).

  2. 2. Écrire 16 comme une puissance de 2

    On reconnaît une puissance de 22 : 16=2416 = 2^{4}. Donc A=ln⁡ ⁣(24)A = \ln\!\left(2^{4}\right).

  3. 3. Appliquer la propriété de la puissance

    D'après la propriété de la puissance, ln⁡ ⁣(24)=4×ln⁡(2)\ln\!\left(2^{4}\right) = 4 \times \ln(2). Donc A=4ln⁡(2)A = 4\ln(2). On remarque que le terme ln⁡(3)\ln(3) a finalement disparu après simplification, ce qui est normal puisque l'expression valait 1616.

  4. 4. Donner une valeur approchée

    On remplace ln⁡(2)≈0,69\ln(2) \approx 0{,}69 : A=4×0,69=2,76A = 4 \times 0{,}69 = 2{,}76. L'indicateur de complexité vaut A=4ln⁡(2)≈2,76A = 4\ln(2) \approx 2{,}76. On peut vérifier que c'est cohérent : ln⁡(16)\ln(16) est compris entre ln⁡(e2)=2\ln(e^{2}) = 2 et ln⁡(e3)=3\ln(e^{3}) = 3 car e2≈7,4e^{2} \approx 7{,}4 et e3≈20e^{3} \approx 20, donc une valeur proche de 2,762{,}76 est bien plausible.
Réponse finale
A=ln⁡ ⁣(8×363)=ln⁡(16)=ln⁡ ⁣(24)=4ln⁡(2)≈2,76A = \ln\!\left(\dfrac{8 \times \sqrt{36}}{3}\right) = \ln(16) = \ln\!\left(2^{4}\right) = 4\ln(2) \approx 2{,}76
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