La demi-vie d'une source dans un capteur

Un détecteur de fumée à chambre d'ionisation utilise une petite source dont l'activité décroît avec le temps selon la loi $N(t) = N_0\,e^{-\lambda t}$, où $N_0$ est l'activité initiale, $t$ le temps (en jours) et $\lambda = 0{,}05$ par jour la constante de désintégration. La demi-vie $t_{1/2}$ est le temps au bout duquel l'activité est divisée par $2$. a) Exprimer la demi-vie $t_{1/2}$ en fonction de $\lambda$, puis la calculer. b) Le capteur doit être remplacé quand l'activité tombe à $10\,\%$ de sa valeur initiale. Déterminer au bout de combien de jours cela se produit, et le comparer à la demi-vie.