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La demi-vie d'une source dans un capteur

Énoncé

Un détecteur de fumée à chambre d'ionisation utilise une petite source dont l'activité décroît avec le temps selon la loi N(t)=N0 e−λtN(t) = N_0\,e^{-\lambda t}, où N0N_0 est l'activité initiale, tt le temps (en jours) et λ=0,05\lambda = 0{,}05 par jour la constante de désintégration. La demi-vie t1/2t_{1/2} est le temps au bout duquel l'activité est divisée par 22. a) Exprimer la demi-vie t1/2t_{1/2} en fonction de λ\lambda, puis la calculer. b) Le capteur doit être remplacé quand l'activité tombe à 10 %10\,\% de sa valeur initiale. Déterminer au bout de combien de jours cela se produit, et le comparer à la demi-vie.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Pour la demi-vie, traduis « l'activité est divisée par 2 » par l'équation N(t1/2)=N02N(t_{1/2}) = \dfrac{N_0}{2}, puis remplace N(t1/2)N(t_{1/2}) par son expression.
  2. Dans chaque cas, commence par simplifier par N0N_0 (il est non nul) : l'équation ne dépend alors plus de l'activité de départ, seulement de tt.
  3. Une fois ramené à e−λt=ke^{-\lambda t} = k (avec k=0,5k = 0{,}5 puis k=0,1k = 0{,}1), applique ln⁡\ln aux deux membres et souviens-toi que ln⁡ ⁣(e−λt)=−λt\ln\!\left(e^{-\lambda t}\right) = -\lambda t. Pour finir, t=−ln⁡(k)λt = \dfrac{-\ln(k)}{\lambda}.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. a) Poser l'équation de la demi-vie

    Par définition, à l'instant t1/2t_{1/2} l'activité vaut la moitié de l'activité initiale : N(t1/2)=N02N(t_{1/2}) = \dfrac{N_0}{2}. En remplaçant par l'expression de NN : N0 e−λ t1/2=N02N_0\,e^{-\lambda\,t_{1/2}} = \dfrac{N_0}{2}.

  2. 2. a) Simplifier puis appliquer le logarithme

    On simplifie par N0N_0 (non nul) : e−λ t1/2=12e^{-\lambda\,t_{1/2}} = \dfrac{1}{2}. On applique ln⁡\ln aux deux membres : −λ t1/2=ln⁡ ⁣(12)=−ln⁡(2)-\lambda\,t_{1/2} = \ln\!\left(\dfrac{1}{2}\right) = -\ln(2). En divisant par −λ-\lambda : t1/2=ln⁡(2)λt_{1/2} = \dfrac{\ln(2)}{\lambda}.

  3. 3. a) Calculer la demi-vie

    On remplace λ=0,05\lambda = 0{,}05 : t1/2=ln⁡(2)0,05≈0,6930,05≈13,9t_{1/2} = \dfrac{\ln(2)}{0{,}05} \approx \dfrac{0{,}693}{0{,}05} \approx 13{,}9 jours. La demi-vie de la source est donc d'environ 13,913{,}9 jours : tous les 13,913{,}9 jours, son activité est divisée par 22.

  4. 4. b) Poser l'équation pour 10 % de l'activité

    On cherche tt tel que N(t)=0,10×N0N(t) = 0{,}10 \times N_0, soit N0 e−λt=0,10×N0N_0\,e^{-\lambda t} = 0{,}10 \times N_0. On simplifie par N0N_0 : e−λt=0,10e^{-\lambda t} = 0{,}10.

  5. 5. b) Résoudre avec le logarithme

    On applique ln⁡\ln : −λt=ln⁡(0,10)-\lambda t = \ln(0{,}10), donc t=−ln⁡(0,10)λ=ln⁡(10)λt = \dfrac{-\ln(0{,}10)}{\lambda} = \dfrac{\ln(10)}{\lambda} (car −ln⁡(0,10)=ln⁡(10)-\ln(0{,}10) = \ln(10)). On calcule : t=ln⁡(10)0,05≈2,3030,05≈46,1t = \dfrac{\ln(10)}{0{,}05} \approx \dfrac{2{,}303}{0{,}05} \approx 46{,}1 jours.

  6. 6. b) Comparer à la demi-vie

    On compare : 46,113,9≈3,3\dfrac{46{,}1}{13{,}9} \approx 3{,}3. Le seuil de 10 %10\,\% est donc atteint après un peu plus de 33 demi-vies, ce qui est cohérent : après 33 demi-vies l'activité vaut (12)3=18=12,5 %\left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{1}{8} = 12{,}5\,\%, il faut donc encore un peu de temps pour descendre à 10 %10\,\%. Le capteur doit être remplacé au bout d'environ 46 jours, soit un peu plus de 3 demi-vies.
Réponse finale
t1/2=ln⁡(2)λ=ln⁡(2)0,05≈13,9 jours;t10%=ln⁡(10)0,05≈46,1 jours≈3,3×t1/2t_{1/2} = \dfrac{\ln(2)}{\lambda} = \dfrac{\ln(2)}{0{,}05} \approx 13{,}9 \ \text{jours} \quad ; \quad t_{10\%} = \dfrac{\ln(10)}{0{,}05} \approx 46{,}1 \ \text{jours} \approx 3{,}3 \times t_{1/2}
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